桶排序（Bucket Sort）是一种排序算法，通常用于将一组数据分割成有限数量的桶（或容器），然后对每个桶中的数据进行排序，最后将这些桶按顺序合并以得到排好序的数据集。

桶排序原理

1. 确定桶的数量：首先，确定要使用的桶的数量。通常，桶的数量可以根据数据范围和分布情况来确定。

2. 分发数据：将待排序的元素按照一定的规则（例如，数值大小）分发到不同的桶中。

3. 每个桶内排序：对每个桶内的元素进行排序。这可以使用任何排序算法，例如插入排序或快速排序。

4. 合并桶：将每个桶内的元素按照桶的顺序合并，形成有序序列。

图示如下：

桶排序性能分析

• 时间复杂度：桶排序的时间复杂度取决于数据的分布情况。在最理想的情况下，当数据均匀分布在各个桶中时，每个桶内的排序时间复杂度是 $O(1)$，因此总体时间复杂度为 $O(n)$。但在最坏情况下，如果所有数据都分布在一个桶中，桶内排序的时间复杂度可以达到 $O(n^2)$。在平均情况下，桶排序通常表现为 $O(n)$。

• 空间复杂度：桶排序需要额外的存储空间来存储桶，因此空间复杂度为 $O(n+k)$，其中 n 表示排序元素的个数，k 表示桶的数量。

• 稳定性：桶排序通常是稳定的，即相等元素的相对顺序在排序后不会发生变化。

使用场景

桶排序适用于以下情况：

• 数据分布相对均匀。

• 数据范围已知，可以将数据映射到有限数量的桶中。

Java 代码实现

以下是使用 Java 实现桶排序的示例代码,其中每个桶中的元素排序使用的是快速排序，快速排序的详解请参考历史博文 深入了解快速排序：原理、性能分析与 Java 实现：

public class Test {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{17,35,37,32,63,46,24};
        System.out.println("原始数组："+ Arrays.toString(arr));
        bucketSort(arr);
        System.out.println("排序后的数组："+ Arrays.toString(arr));
    }



    //桶排序
    public static void bucketSort(int[] arr){

        int maxVal = Arrays.stream(arr).max().getAsInt();
        int minVal = Arrays.stream(arr).min().getAsInt();

        //计算桶的数量，+1 是保证至少有1个桶来装数据
        int bucketCount  = (maxVal - minVal)/arr.length + 1;

        // 用于存储每个桶中元素的出现次数
        int[] order = new int[bucketCount];
        // 用于存储每个桶中的数据
        int[][] output = new int[bucketCount][arr.length];

        int len = arr.length;

        //每个桶中数据的范围,+1 是至少每个桶中的数据范围为1
        int rang =  (maxVal - minVal)/bucketCount +1;

        //将待排序的数组中的所有元素放入到桶中
        for(int i = 0; i < len; i++ ){
            //计算数组元素所在的桶
            int index = (arr[i] - minVal)  /  rang ;
            //将元素放入指定的桶
            output[index][order[index]] = arr[i];
            //添加桶元素的计数
            order[index]++;
        }

        System.out.println("桶计数数组为："+ Arrays.toString(order));

        int k = 0;

        //遍历桶，将桶中的元素放入源数组中，并对其进行快速排序
        for(int i = 0; i < bucketCount; i++){
            int j ;
            if(order[i] > 0){
                // 将桶中的元素放入源数组中
                for(j = 0; j < order[i]; j++){
                    arr[k++] = output[i][j];
                }
                //对桶中的元素进行快速排序
                quickSort(arr,k-j,k-1);
            }

        }
    }


    //快速排序的详解请参考历史博文 `深入了解快速排序：原理、性能分析与 Java 实现`
    public static void quickSort(int[] arr,int left,int right) {

        //递归结束条件left < right
        if(left < right){
            // 通过分区函数得到基准元素的索引
            int pivotIndex = partition(arr, left, right);
            //递归对基准元素左边的子数组进行快速排序
            quickSort(arr,left,pivotIndex-1);
            //递归对基准元素右边的子数组进行快速排序
            quickSort(arr,pivotIndex+1,right);
        }
    }

    public static int partition(int[] arr,int left,int right) {
        // 选择最后一个元素作为基准元素
        int pivot = arr[right];
        int i = left;

        //循环数组，如果满足条件，则将满足条件的元素交换到arr[i]，同时i++,循环完成之后i之前的元素则全部为小于基准元素的元素
        for (int j = left; j < right; j++) {
            if(arr[j] < pivot){
                if(j != i){
                    int temp  = arr[i];
                    arr[i] = arr[j];
                    arr[j] = temp;
                }
                i++;
            }
        }

        // 交换 arr[i] 和基准元素
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[right];
        arr[right] = temp;

        //返回基准元素的下标
        return i;
    }
}

输出结果为：

原始数组：[17, 35, 37, 32, 63, 46, 24]
桶计数数组为：[1, 1, 3, 0, 1, 0, 1]
排序后的数组：[17, 24, 32, 35, 37, 46, 63]

这是一个基本的桶排序实现示例。您可以根据实际需求和数据类型进行扩展和优化。

总结

总的来说，桶排序是一种简单但有效的排序算法，特别适用于某些特定范围内数据的排序，当数据分布均匀时，性能较好。然而，对于不均匀分布的数据，其性能可能下降，因此在实际应用中需要谨慎选择。