文章目录
- 1 基本
- 1.1 概念
- 1.2 特点
- 1.3 构建
- 1.4 调整
- 1.4.1 RR
- 1.4.1.1 示例
- 1.4.1.2 多棵树不平衡
- 1.4.2 LL
- 1.4.2.1 示例
- 1.4.3 LR
- 1.4.3.1 示例
- 1.4.4 RL
- 1.4.4.1 示例
- 1.5 实现
- 1.5.1 示例
- 1.5.2 完善
1 基本
1.1 概念
平衡二叉树是一棵合理的二叉排序树
解释
对于这么一个序列
如果按照普通的排序思路，5>4>3>2>1，会得到这么一棵树
如果想要查询结点5，则需要比对很多次；
而如果以3为根，则可以得到一棵较为合理的树
这样就搜索结点5只需要3次即可
为了实现较为合理的排序，AVL就因此诞生
1.2 特点
平衡二叉树有个至关重要的特点：
左右子树高度差不超过
1
由此减少树的深度，从而减少查找次数
1.3 构建
- 本质上与构建二叉排序树一致
- 在构建二叉排序树的过程中，如果发现树不符合左右子树高度差不超过1的特点，需要进行调整
1.4 调整
通过**失衡树的根节点root和导致树失衡的结点node**来调整新的树
而根据2个方向来选择调整方法
- 导致树失衡的结点
node在root的哪一侧 node在root孩子结点的哪一侧
调整方法
- LL：上面两个方向均在左侧
- RR：上面两个方向均在右侧
- RL：上面两个方向一右一左
- LR：上面两个方向一左一右
1.4.1 RR
RR：
- 取中间节点，使其父节点成为其左子树
- 如果它有左子树，则先使其父节点成为其左子树，然后使其原有的左子树连接到现有左子树的右子树上
// 代码的实现则是反过来，先连接原有左子树到现有左子树的右子树，再连接到中间节点的右子树
root 1 node/child 3
root->right_child = child->left_child;
child->left_child = root;
1.4.1.1 示例
对于开头提到的序列
进行正常排序
可见，root是1， node是3
node在root的右侧:Rnode在root孩子节点的右侧:R
两个都是R
进行调整
如果2原先有左子树，调整：
1.4.1.2 多棵树不平衡
注意：如果遇到多棵树不平衡，则调整最小树
将上面的序列继续排序
排序
如图，有两棵树失衡，一棵树最大的树12345，一颗是345，我们只用调整最小的345即可
这棵也是RR，直接调整
1.4.2 LL
和RR完全相反
LL：
- 取中间节点，使其父节点成为其右子树
- 如果它有右子树，则先使其父节点成为其右子树，然后使其原有的右子树连接到现有右子树的左子树上
// 代码的实现则是反过来，先连接原有左子树到现有左子树的右子树，再连接到中间节点的右子树
root 5 node/child 3
root->left_child = child->right_child;
child->right_child = root;
1.4.2.1 示例
再来一组数据
正常排序
进行LL排序
继续
继续排序最小树
1.4.3 LR
LR：
- 取最后一个节点，使其作为父节点
- 将其原有的父节点作为它的左子树，将它原有的父节点的父节点作为它的右子树
- 如果它有左子树，则先使其父节点成为其左子树，然后使其原有的左子树连接到现有左子树的右子树上
- 如果它有右子树，则先将它原有的父节点的父节点作为它的右子树，然后将其原有的右子树连接到它原有的父节点的父节点的左子树上
总结
- 先
RR - 后
LL
// 代码的实现则是反过来
root 7 node/child 6
root->left_child = child->right_child; child-right_>child = root; //有右子树
root->left_child->right_child = child->left_child; root->left_child->right_child = child->left_child //有左子树
child->right_child = root;
root = child;
1.4.3.1 示例
进行正常排序
两棵树失衡
调整最下面的树
可见，root是7， node是6
node在root的左侧:Lnode在root孩子节点的右侧:R
即LR
进行调整
1.4.4 RL
RL：
- 取最后一个节点，使其作为父节点
- 将其原有的父节点作为它的右子树，将它原有的父节点的父节点作为它的左子树
- 如果它有左子树，则先将它原有的父节点的父节点作为它的左子树，然后将其原有的左子树连接到它原有的父节点的父节点的右子树上
- 如果它有右子树，则先使其父节点成为其右子树，然后使其原有的右子树连接到现有右子树的左子树上，
总结
- 先
LL - 后
RR
// 代码的实现则是反过来
root 1 node/child 6
root->right_child->left_child = child->right_child; child-right_>child = root->right_child; //有右子树
root->right_child = child->left_child; child->left_child = root; //有左子树
child->left_child = root;
root = child;
1.4.4.1 示例
进行正常排序
已经失衡，进行调整
可见，root是1， node是6
node在root的左侧:Rnode在root孩子节点的右侧:L
即RL
进行调整
然后继续插入7/10
1.5 实现
- 建立平衡二叉树的过程就是建立一棵二叉搜索树的过程
- 而在建立过程中我们需要对树进行调整，调整需要用到树的高度，因此我们节点的结构体中需要添加一个
height字段来标记当前树的高度
1.5.1 示例
只实现二叉排序树，还未使用字段height
#include<iostream>
using namespace std;
//节点
typedef struct TreeNode {
int data;
int height;
struct TreeNode* left_child;
struct TreeNode* right_child;
}TreeNode;
//进行二叉排序树的构建
void AVLInsert(TreeNode** T, int data)
{
if (*T == NULL) //没有节点
{
*T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode)); //创建一个
(*T)->data = data;
(*T)->height = 0; //高度设为0
(*T)->left_child = NULL;
(*T)->right_child = NULL;
}
else if (data < (*T)->data)
{
AVLInsert(&(*T)->left_child, data); //比根节点的data大，插入在左子树
}
else if (data > (*T)->data)
{
AVLInsert(&(*T)->right_child, data);
}
}
//前序遍历打印树
void PreOrder(TreeNode* T)
{
if (T)
{
cout << T->data;
PreOrder(T->left_child); //递归调用左子树
PreOrder(T->right_child); //递归调用右子树
}
}
int main()
{
TreeNode* T = NULL;
int nums[5] = { 1,2,3,4,5 };
for (int i = 0; i < 5; i++)
{ //构建树
AVLInsert(&T, nums[i]);
}
PreOrder(T);
cout << endl;
return 0;
}
1.5.2 完善
- 获取高度（其实我们结构体中有定义
height字段可以直接调用，但为了易读我这里创建一个函数得到height）
//获取高度高度
int GetHeight(TreeNode* node)
{
return node ? node->height : 0; //节点不为空，则返回节点的height值，否则返回0
}
-
获取最大高度
//获取最大高度 int GetMax(int a, int b) { return a > b ? a : b; } -
实现
RR和LL
//RR旋转
void rrRotation(TreeNode* root, TreeNode** node)
{
TreeNode* tmp = root->right_child;
root->right_child = tmp->left_child; //原有左子树连接到现有左子树的右子树上
tmp->left_child = root; //使其父节点成为其现有的左子树
root->height = GetMax(GetHeight(root->left_child), GetHeight(root->right_child)) + 1;
tmp->height = GetMax(GetHeight(tmp->left_child), GetHeight(tmp->right_child)) + 1;
*node = tmp;
}
//LL旋转
void llRotation(TreeNode* root, TreeNode** node)
{
TreeNode* tmp = root->left_child;
root->left_child = tmp->right_child; //原有右子树连接到现有右子树的左子树上
tmp->right_child = root; //使其父节点成为其现有的右子树
root->height = GetMax(GetHeight(root->left_child), GetHeight(root->right_child)) + 1;
tmp->height = GetMax(GetHeight(tmp->left_child), GetHeight(tmp->right_child)) + 1;
*node = tmp;
}
-
实现
LR和RL，就是调用LL和RR//LR void lrTotation(TreeNode** T) { rrRotation((*T)->left_child, &(*T)->left_child); llRotation(*T, T); } //RL void rlTotation(TreeNode** T) { llRotation((*T)->right_child, &(*T)->right_child); rrRotation(*T, T); } -
最后完善构建二叉树
//进行二叉排序树的构建 void AVLInsert(TreeNode** T, int data) { if (*T == NULL) //没有节点 { *T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode)); //创建一个 (*T)->data = data; (*T)->height = 0; //高度设为0 (*T)->left_child = NULL; (*T)->right_child = NULL; } else if (data < (*T)->data) //比根节点的data小，插入在左子树 :L { AVLInsert(&(*T)->left_child, data); //获取当前节点左右子树的高度 int left_height = GetHeight((*T)->left_child); int right_height = GetHeight((*T)->right_child); //判断高度差 if (left_height - right_height > 1) { if (data < (*T)->left_child->data)//小于父节点左子树的值，说明在左边 :L { //LL llRotation(*T, T); } else// : R { //LR lrTotation(T); } } } else if (data > (*T)->data)//比根节点的data大，插入在右子树 :R { AVLInsert(&(*T)->right_child, data); //获取当前节点左右子树的高度 int left_height = GetHeight((*T)->left_child); int right_height = GetHeight((*T)->right_child); //判断高度差 if (right_height - left_height > 1) { if (data > (*T)->right_child->data) //大于父节点右子树的值，说明在右边 :R { //RR rrRotation(*T, T); } else//:L { //RL rlTotation(T); } } } (*T)->height = GetMax(GetHeight((*T)->left_child), GetHeight((*T)->right_child)) + 1; } -
mainint main() { TreeNode* T = NULL; int nums1[5] = { 1,2,3,4,5 }; int nums2[5] = { 5,4,3,2,1 }; int nums3[5] = { 8,7,9,5,6 }; int nums4[5] = { 1,8,6,7,10 }; for (int i = 0; i < 5; i++) { //构建树 AVLInsert(&T, nums4[i]); } PreOrder(T); cout << endl; return 0; }
