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博客目录
- 1.问题描述
- 2.问题解析
- 3.二维解答
- 4.一维解答
- 5.继续优化
1.问题描述
0-1 背包问题（0-1 Knapsack Problem）是一个经典的组合优化问题，通常出现在计算机科学和数学中。它的背景是在给定一组物品，每个物品有一个特定的重量和价值，以及一个固定容量的背包。问题的目标是确定应该选择哪些物品放入背包，以使得它们的总重量不超过背包的容量，并且它们的总价值最大化。
0-1 背包问题之所以称为 0-1，是因为对于每个物品，你只有两种选择：要么将它放入背包（表示为 1），要么不放入背包（表示为 0）。不能将一个物品部分放入背包。
2.问题解析
/*
1. n个物品都是固体，有重量和价值
2. 现在你要取走不超过 10克 的物品
3. 每次可以不拿或全拿，问最高价值是多少
编号 重量(g) 价值(元) 简称
1 4 1600 黄金一块 400 A
2 8 2400 红宝石一粒 300 R
3 5 30 白银一块 S
4 1 1_000_000 钻石一粒 D
1_001_630 贪心解
1_002_400 正确解
*/
/*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 A A A A A A A 黄金
1 0 0 0 0 A A A A R R R 红宝石
2 0 0 0 0 A A A A R R R 白银
3 0 D D D D DA DA DA DA DR DR 钻石
if(装不下) {
dp[i][j] = dp[i-1][j]
} else { 装得下
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], item.value + dp[i-1][j-item.weight])
}
*/
3.二维解答
static class Item {
int index;
String name;
int weight;
int value;
public Item(int index, String name, int weight, int value) {
this.index = index;
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Item(" + name + ")";
}
}
public static void main(String[] args) {
Item[] items = new Item[]{
new Item(1, "黄金", 4, 1600),
new Item(2, "宝石", 8, 2400),
new Item(3, "白银", 5, 30),
new Item(4, "钻石", 1, 10_000),
};
System.out.println(select(items, 10));
}
static int select(Item[] items, int total) {
int[][] dp = new int[items.length][total + 1];
print(dp);
final Item item0 = items[0];
for (int j = 0; j < total + 1; j++) {
if (j >= item0.weight) {//装得下
dp[0][j] = item0.value;
}
}
print(dp);
for (int i = 1; i < items.length; i++) {
final Item item = items[i];
for (int j = 0; j < total + 1; j++) {
if (j >= item.weight) {//装得下
dp[i][j] = Integer.max(dp[i - 1][j], item.value + dp[i - 1][j - item.weight]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
print(dp);
}
return dp[items.length - 1][total];
}
static void print(int[][] dp) {
System.out.println(StringUtil.repeat(" " + "-", 20));
Object[] array = IntStream.range(0, dp[0].length + 1).boxed().toArray();
System.out.printf((StringUtil.repeat("%5d ", dp[0].length)) + "%n", array);
for (int[] d : dp) {
array = Arrays.stream(d).boxed().toArray();
System.out.printf((StringUtil.repeat("%5d ", d.length)) + "%n", array);
}
}
4.一维解答
static class Item {
int index;
String name;
int weight;
int value;
public Item(int index, String name, int weight, int value) {
this.index = index;
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Item(" + name + ")";
}
}
public static void main(String[] args) {
Item[] items = new Item[]{
new Item(1, "黄金", 4, 1600),
new Item(2, "宝石", 8, 2400),
new Item(3, "白银", 5, 30),
new Item(4, "钻石", 1, 10_000),
};
System.out.println(select(items, 10));
}
static int select(Item[] items, int total) {
int[] dp = new int[total + 1];
System.out.println(Arrays.toString(dp));
final Item item0 = items[0];
for (int j = 0; j < total + 1; j++) {
if (j >= item0.weight) {//装得下
dp[j] = item0.value;
}
}
System.out.println(Arrays.toString(dp));
for (int i = 1; i < items.length; i++) {
final Item item = items[i];
for (int j = total; j > 0; j--) {
if (j >= item.weight) {//装得下
dp[j] = Integer.max(dp[j], item.value + dp[j - item.weight]);
}
}
System.out.println(Arrays.toString(dp));
}
return dp[total];
}
5.继续优化
static class Item {
int index;
String name;
int weight;
int value;
public Item(int index, String name, int weight, int value) {
this.index = index;
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Item(" + name + ")";
}
}
public static void main(String[] args) {
Item[] items = new Item[]{
new Item(1, "黄金", 4, 1600),
new Item(2, "宝石", 8, 2400),
new Item(3, "白银", 5, 30),
new Item(4, "钻石", 1, 10_000),
};
System.out.println(select(items, 10));
}
static int select(Item[] items, int total) {
int[] dp = new int[total + 1];
for (int i = 0; i < items.length; i++) {
final Item item = items[i];
for (int j = total; j > 0; j--) {
if (j >= item.weight) {//装得下
dp[j] = Integer.max(dp[j], item.value + dp[j - item.weight]);
}
}
System.out.println(Arrays.toString(dp));
}
return dp[total];
}
注意：内层循环需要倒序，否则 dp[j - item.weight] 的结果会被提前覆盖
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