问题
今天做到一个题的时候发现，之前记的结论记错了，一个方程本来应该是双叶双曲面我记得，结果答案竟然是圆锥面，后来发现原因是常数项等于0或者不等于0的差别。因此，就这个问题我们来通过图文的方式探讨一下两种情况区别和联系，并且对所有情况做一个总结。
思考
可以看到，这里在后面标注了a>0，也是本题和上图情况区别的原因（题目为：yz+xz+xy=0）
因此，我们来看一下这几种情况分别是什么样的。
3正且相等
a>0
球面。
a=0
点。
a<0
不可能发生。
区别
可以看到a决定了球体的半径，当a=0的时候，原三维球面坍缩为一个点（原点）。
三正但不等
椭球面。
a=0
。
点
a<0
不可能发生。
区别
可以看到a决定了椭球体的半径，当a=0的时候，原三维椭球面坍缩为一个点（原点）。
二正一负
a>0
单页双曲面。
a=0
圆锥面。
a<0
双叶双曲面。
区别
可以看到，决定了和平面截得的面积大小，a=0时，面积为0，即为一个点，当a为负值时，单叶双曲面分离成为双叶双曲面，或者可以将等式两边乘一个负号，就变成了两负一正a>0的情况了。
二正一零正的相等
a>0
椭圆柱面。
a=0
重合于z轴的直线。
a<0
不存在。
区别
和之前类似，a的取值决定了和平面截面面积的大小，当a=0时，截面面积为0，变为直线。
二正一零正的不等
a>0
椭圆柱面。
a=0
重合于z轴的直线。
a<0
不存在
区别
这里和上一种曲面的区别在于系数不同了，曲面发生了一定的伸缩变换。
一正二负
a>0
双叶双曲面。
a=0
圆锥面。
a<0
单叶双曲面。
区别
同之前一样，注意这里可以和两正一负的情况形成一个对应的关系。
一正一负一零
a>0
双曲柱面。
a=0
两个互相垂直的平面。
a<0
双曲柱面。
区别
a值得绝对值越大，弯曲程度越明显，当a值得绝对值等于0的时候，曲面不弯曲，变为平面。
tips
- 刚才柱面和抛物面混淆了。。。柱面的定义是直线沿着一条定曲线平行移动所形成的曲面，动直线称为柱面的直母线，定曲线称为柱面的准线。当准线是圆时所得柱面称为圆柱面。抛物面，是指抛物线旋转180°所得到的面。数学上的抛物线就是同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合 。抛物面是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。
总结
二次型可以通过正交变换变成标准型（将歪七扭八的图形一巴掌打正，并且可逆（正交）变换不改变二次型的正负惯性指数个数），然后即可用这些方法进行表示。
参考资料
[1]首图截自杨威线代课程
[2]绘图软件：https://www.geogebra.org/
[3]常见二次曲面：https://zhuanlan.zhihu.com/p/58917013
[4]百度百科（柱面，抛物面的定义）
