目录
堆的基本存储
一、概念及其介绍
二、适用说明
三、结构图示
堆的 shift up
堆的 shift down
基础堆排序
一、概念及其介绍
二、适用说明
三、过程图示
优化堆排序
索引堆及其优化
一、概念及其介绍
二、适用说明
三、结构图示
堆的基本存储
一、概念及其介绍
堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。
堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。
堆满足下列性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
- 堆总是一棵完全二叉树。
二、适用说明
堆是利用完全二叉树的结构来维护一组数据，然后进行相关操作，一般的操作进行一次的时间复杂度在 O(1)~O(logn) 之间，堆通常用于动态分配和释放程序所使用的对象。
若为优先队列的使用场景，普通数组或者顺序数组，最差情况为 O(n^2)，堆这种数据结构也可以提高入队和出队的效率。
| 入队 | 出队 | |
|---|---|---|
| 普通数组 | O(1) | O(n) |
| 顺序数组 | O(n) | O(1) |
| 堆 | O(logn) | O(log) |
三、结构图示
二叉堆是一颗完全二叉树，且堆中某个节点的值总是不大于其父节点的值，该完全二叉树的深度为 k，除第 k 层外，其它各层 (1～k-1) 的结点数都达到最大个数，第k 层所有的结点都连续集中在最左边。
其中堆的根节点最大称为最大堆，如下图所示：
我们可以使用数组存储二叉堆，右边的标号是数组的索引。
假设当前元素的索引位置为 i，可以得到规律：
parent(i) = i/2（取整）
left child(i) = 2*i
right child(i) = 2*i +1堆的 shift up
本小节介绍如何向一个最大堆中添加元素，称为 shift up。
假设我们对下面的最大堆新加入一个元素52，放在数组的最后一位，52大于父节点16，此时不满足堆的定义，需要进行调整。
首先交换索引为 5 和 11 数组中数值的位置，也就是 52 和 16 交换位置。
此时 52 依然比父节点索引为 2 的数值 41 大，我们还需要进一步挪位置。
这时比较 52 和 62 的大小，52 已经比父节点小了，不需要再上升了，满足最大堆的定义。我们称这个过程为最大堆的 shift up。
堆的 shift down
本小节将介绍如何从一个最大堆中取出一个元素，称为 shift down，只能取出最大优先级的元素，也就是根节点，把原来的 62 取出后，下面介绍如何填补这个最大堆。
第一步，我们将数组最后一位数组放到根节点，此时不满足最大堆的定义。
调整的过程是将这个根节点 16 一步一步向下挪，16 比子节点都小，先比较子节点 52 和 30 哪个大，和大的交换位置。
继续比较 16 的子节点 28 和 41，41 大，所以 16 和 41 交换位置。
继续 16 和孩子节点 15 进行比较，16 大，所以现在不需要进行交换，最后我们的 shift down 操作完成，维持了一个最大堆的性质。
基础堆排序
一、概念及其介绍
堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。
堆是一个近似 完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
二、适用说明
我们之前构造堆的过程是一个个数据调用 insert 方法使用 shift up 逐个插入到堆中，这个算法的时候时间复杂度是 O(nlogn)，本小节介绍的一种构造堆排序的过程，称为 Heapify，算法时间复杂度为 O(n)。
三、过程图示
完全二叉树有个重要性质，对于第一个非叶子节点的索引是 n/2 取整数得到的索引值，其中 n 是元素个数(前提是数组索引从 1 开始计算)。
索引 5 位置是第一个非叶子节点，我们从它开始逐一向前分别把每个元素作为根节点进行 shift down 操作满足最大堆的性质。
索引 5 位置进行 shift down 操作后，22 和 62 交换位置。
对索引 4 元素进行 shift down 操作
对索引 3 元素进行 shift down 操作
对索引 2 元素进行 shift down 操作
最后对根节点进行 shift down 操作，整个堆排序过程就完成了。
优化堆排序
上一节的堆排序，我们开辟了额外的空间进行构造堆和对堆进行排序。这一小节，我们进行优化，使用原地堆排序。
对于一个最大堆，首先将开始位置数据和数组末尾数值进行交换，那么数组末尾就是最大元素，然后再对W元素进行 shift down 操作，重新生成最大堆，然后将新生成的最大数和整个数组倒数第二位置进行交换，此时倒数第二位置就是倒数第二大数据，这个过程以此类推。
整个过程可以用如下图表示：
索引堆及其优化
一、概念及其介绍
索引堆是对堆这个数据结构的优化。
索引堆使用了一个新的 int 类型的数组，用于存放索引信息。
相较于堆，优点如下：
- 优化了交换元素的消耗。
- 加入的数据位置固定，方便寻找。
二、适用说明
如果堆中存储的元素较大，那么进行交换就要消耗大量的时间，这个时候可以用索引堆的数据结构进行替代，堆中存储的是数组的索引，我们相应操作的是索引。
三、结构图示
我们需要对之前堆的代码实现进行改造，换成直接操作索引的思维。首先构造函数添加索引数组属性 indexes。
protected T[] data; // 最大索引堆中的数据
protected int[] indexes; // 最大索引堆中的索引
protected int count;
protected int capacity;相应构造函数调整为，添加初始化索引数组。
...
public IndexMaxHeap(int capacity){
data = (T[])new Comparable[capacity+1];
indexes = new int[capacity+1];
count = 0;
this.capacity = capacity;
}
...调整插入操作，indexes 数组中添加的元素是真实 data 数组的索引 indexes[count+1] = i。
...
// 向最大索引堆中插入一个新的元素, 新元素的索引为i, 元素为item
// 传入的i对用户而言,是从0索引的
public void insert(int i, Item item){
assert count + 1 <= capacity;
assert i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity;
i += 1;
data[i] = item;
indexes[count+1] = i;
count ++;
shiftUp(count);
}
...调整 shift up 操作：比较的是 data 数组中父节点数据的大小，所以需要表示为 data[index[k/2]] < data[indexs[k]]，交换 index 数组的索引，对 data 数组不产生任何变动，shift down 同理。
...
//k是堆的索引
// 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
private void shiftUp(int k){
while( k > 1 && data[indexes[k/2]].compareTo(data[indexes[k]]) < 0 ){
swapIndexes(k, k/2);
k /= 2;
}
}
...从索引堆中取出元素，对大元素为根元素 data[index[1]] 中的数据，然后再交换索引位置进行 shift down 操作。
...
public T extractMax(){
assert count > 0;
T ret = data[indexes[1]];
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);
return ret;
}
...也可以直接取出最大值的 data 数组索引值
...
// 从最大索引堆中取出堆顶元素的索引
public int extractMaxIndex(){
assert count > 0;
int ret = indexes[1] - 1;
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);
return ret;
}
...修改索引位置数据
...
// 将最大索引堆中索引为i的元素修改为newItem
public void change( int i , Item newItem ){
i += 1;
data[i] = newItem;
// 找到indexes[j] = i, j表示data[i]在堆中的位置
// 之后shiftUp(j), 再shiftDown(j)
for( int j = 1 ; j <= count ; j ++ )
if( indexes[j] == i ){
shiftUp(j);
shiftDown(j);
return;
}
}
...
