一、题目大意

我们有一台起重机的机械臂，它由多个节相连组成，如下所示。

起初的时候，所有的节之间的角度都是180度，是竖直的，我们可以扭转其中任意两个节的角度，每一次移动后题目需要输出题目最后一个点相对于第一个点偏移的x和y如下两张图所示。

其中 ，然后 。

从图中其实可以推断一个猜想，我们对1和2之间角度偏移了30°，那么2后面的3，4，5其实都会偏移2，即对于[1,n]个节，偏移 i-1 到i 的角度，那么[i,n]其实都要偏移同样的角度。

二、解题思路

其实不难看出了，这是一个区间操作的问题，那么考虑下，假如说我有10000节，我把第一节和第二节之间的角度偏移到210，动了30度，那么除了第二节，后面的9997节其实也会都再偏移30度，假设我们从0开始计下标，那么除了下标为0的元素不用改，其他[1,10000)的下标的元素都得变！如果一个一个更新，那么复杂性太高了，如果操作10000次，那么就是10000*10000*10000次的数组更新，分钟甚至小时的时间蜗牛速度！所以就考虑下区间操作，是不是可以不更新所有的点！

我们可以构建一个线段树，每个节点保存3个值，如下

1、节点相对它起点的偏移的x

2、节点相对于它终点偏移的y

3、节点的子节点共同偏移的角度angle

这样的话我们要更新第[2,10000]的元素也就是[0,10000)下标的数组的值的话，如果使用线段树会快很多，10000的线段树有10多层，我就画一个简要的图，例如下图，我们更新画红圈圈的两个点就可以代表对[2048,8192)这6000多个数组元素进行赋值，那么有了它，其实本题目就可以在O(n*n*logn)的复杂性完成。

那么如何实现区间修改角度呢，拿一个之后4个元素的起重机，假设它们的长度都是5，那么每个节点需要记录的值有几部分。

1、它管理的区间[l,r)

2、它相对于它起点x偏移和y偏移(x,y)

3、它的所有子节点一起动过的角度 dAngle

假如说我们要对1到2节点的角度进行改变，从180到210变化30，那么对于线段树的变化如下。

这个更新的步骤如下，假设旋转的角度为 i-1到 i 转 Ω度，

1、如果节点的 [l,r) 中 l > i 或者 r <= i，直接跳过

2、如果节点的 [l,r)中 l>=i，那么更新这个节点的x和y为转动Ω度后的x和y，同时记录之前的x和y为x_和y_，然后这个节点dAngle的度数增加30，代表它的子节点都偏移30度，然后直接向上去更新父节点，更新父节点时，先用它原来的x_和y_旋转父节点的dAngle度，之后用父节点的值减去求出的值，然后用子节点新的值x和y也去旋转父节点的dAngle度，之后父节点的值加上这个值。

然后递归的更新父节点的父节点，每次更新父节点时，用它直接相连的子节点变化之前的值，偏移父节点的dAngle度，然后父节点的值减去这个值，之后计算直接相连的子节点的值变化之后的值，偏移父节点的dAngle度，然后父节点的值加上这个值。

一直利用上一段的操作，更新到根节点即可。

3、如果节点的 l < r，那么代表这个节点中的子节点会完全包含，则递归它的两个子节点。

之后我们要输出答案的时候，只需要输出根节点的x和y的偏移量即可。

那么还有有点就是如何去计算某个x和偏移了Ω角度后的值，其实不难，例如将x1和y1原来的角度时Ω1度，旋转Ω2度到x2和y2，如下所示。

那么我们不难看出这像是两个斜边相同的直角三角形，然后我们还知道Ω1、Ω2、x1和x2的值，那么我们根据斜边相同的等值关系去列方程

x1/sin(Ω1) =   x2/sin(Ω1+Ω2)

y1/cos(Ω1) =   y2/cos(Ω1+Ω2)

解出这个二元一次方程，求出x2和y2即可，化简下。

然后我们直到tan(Ω1)=x/(-y)，那么其实也就可以看出，求出x2和y2不需要知道x1和y1之前偏移的角度，只需要直到在某次操作时，变化的角度即可。

然后需要注意的是，计算三角函数，需要特殊处理下90°的倍数，

1、当变化90°时，其实就是 x2=y1*(-1),y2=x1

2、变化180°时，x2=x1*(-1)，y2=y1*(-1)

3、变化270°时，就是x2=y1,y2=(x1)*(-1)

然后变化的角度小于0就加上360即可，大于0就对360取余（多转一圈少转一圈x和y没有变化）

然后计算tan时，需要考虑下之前x1和y1是不是有一方为0。如果都是0，那么不用计算了，怎么转都是0，

如果x1==0，y1!=0，那么转之后 x2=y1 * sin(Ω2) * (-1),y2=y1 * cos(Ω2) 

如果x1!=0，y1==0，那么转之后 x2=x1 * cos(Ω2) * (-1),y2=x1 * sin(Ω2) 

然后注意下，我以上说的Ω1是之前的角度，Ω2是之后的角度-之前的角度的差，就是我们需要根据输入来计算的，不是直接用的输入的那个角度。

三、代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// 节点i相对于它的起点的x,y偏移就等于datX[i],datY[i]再旋转上它所有父节点的datAngle的和
double datX[32780], datY[32780], num[10007], tmpX, tmpY, pai = 3.141592653589793;
int n_, n, angle[10007], op, datAngle[32780];
void input()
{
    for (int i = 0; i < n_; i++)
    {
        scanf("%lf", &num[i]);
        angle[i + 1] = 180;
    }
}
void init()
{
    n = 1;
    while (n < n_)
    {
        n = n * 2;
    }
    for (int i = ((2 * n) - 2); i >= 0; i--)
    {
        if (i >= (n - 1))
        {
            datX[i] = 0.0;
            datAngle[i] = 0;
            if ((i - (n - 1)) < n_)
            {
                datY[i] = num[i - (n - 1)];
            }
            else
            {
                datY[i] = 0.0;
            }
        }
        else
        {
            datAngle[i] = 0;
            datX[i] = datX[(i * 2) + 1] + datX[(i * 2) + 2];
            datY[i] = datY[(i * 2) + 1] + datY[(i * 2) + 2];
        }
    }
}
void calcVal(int dAngle, double currentX, double currentY)
{
    if (dAngle == 0)
    {
        tmpX = currentX;
        tmpY = currentY;
    }
    else if (currentX == 0.0 && currentY == 0.0)
    {
        tmpX = currentX;
        tmpY = currentY;
    }
    else if (dAngle == 90)
    {
        tmpX = currentY * (-1.0);
        tmpY = currentX;
    }
    else if (dAngle == 180)
    {
        tmpX = currentX * (-1.0);
        tmpY = currentY * (-1.0);
    }
    else if (dAngle == 270)
    {
        tmpX = currentY;
        tmpY = currentX * (-1.0);
    }
    else if (currentX == 0.0)
    {
        double omiga = ((dAngle * (1.0)) / (180.0)) * pai;
        tmpX = sin(omiga) * currentY * (-1.0);
        tmpY = cos(omiga) * currentY;
    }
    else if (currentY == 0.0)
    {
        double omiga = ((dAngle * (1.0)) / (180.0)) * pai;
        tmpX = cos(omiga) * currentX;
        tmpY = sin(omiga) * currentX;
    }
    else
    {
        double omiga = ((dAngle * (1.0)) / (180.0)) * pai;
        tmpX = cos(omiga) * currentX + (sin(omiga) * (currentY / currentX) * (-1.0) * currentX);
        tmpY = cos(omiga) * currentY - (sin(omiga) * (currentX / currentY) * (-1.0) * currentY);
    }
}
//[l,n)
void handle(int idx, int dAngle, int i, int l, int r)
{
    if (idx <= l)
    {
        double beforeChangeX = datX[i];
        double beforeChangeY = datY[i];
        calcVal(dAngle, beforeChangeX, beforeChangeY);
        double afterChangeX = tmpX;
        double afterChangeY = tmpY;
        datX[i] = afterChangeX;
        datY[i] = afterChangeY;
        datAngle[i] = (datAngle[i] + dAngle) % 360;
        int j = i;
        while (j > 0)
        {
            j = (j - 1) / 2;
            calcVal(datAngle[j], beforeChangeX, beforeChangeY);
            beforeChangeX = datX[j];
            beforeChangeY = datY[j];
            datX[j] = datX[j] - tmpX;
            datY[j] = datY[j] - tmpY;
            calcVal(datAngle[j], afterChangeX, afterChangeY);
            datX[j] = datX[j] + tmpX;
            datY[j] = datY[j] + tmpY;
            afterChangeX = datX[j];
            afterChangeY = datY[j];
        }
    }
    else if (l < idx && r > idx)
    {
        handle(idx, dAngle, i * 2 + 1, l, (l + r) / 2);
        handle(idx, dAngle, i * 2 + 2, (l + r) / 2, r);
    }
}
int main()
{
    int nAngle, idx, cnt = 0;
    while (~scanf("%d%d", &n_, &op))
    {
        if (cnt > 0)
        {
            printf("\n");
        }
        input();
        init();
        for (int i = 0; i < op; i++)
        {
            scanf("%d%d", &idx, &nAngle);
            if (nAngle != angle[idx])
            {
                int dAngle = nAngle - angle[idx];
                if (dAngle < 0)
                {
                    dAngle = dAngle + 360;
                }
                handle(idx, dAngle, 0, 0, n);
                angle[idx] = nAngle;
            }
            printf("%.2f %.2f\n", datX[0], datY[0]);
        }
        cnt++;
    }
    return 0;
}

四、运行情况