袋子里最少数目的球

给你一个整数数组 nums ，其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations 。

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次：

选择任意一个袋子，并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中，每个袋子里都有正整数个球。
比方说，一个袋子里有 5 个球，你可以把它们分到两个新袋子里，分别有 1 个和 4 个球，或者分别有 2 个和 3 个球。

你的开销是单个袋子里球数目的 最大值 ，你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

示例 1

输入：nums = [9], maxOperations = 2
输出：3
解释：
- 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3] 。
- 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3] 。
装有最多球的袋子里装有 3 个球，所以开销为 3 并返回 3 。

示例 2

输入：nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4
输出：2
解释：
- 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2] 。
装有最多球的袋子里装有 2 个球，所以开销为 2 并返回 2 。

示例 3

输入：nums = [7,17], maxOperations = 2
输出：7

提示

1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= maxOperations, nums[i] <= 10⁹

算法一：二分查找

思路

首先给出一个定义：「给定花销 mid ，能否在 maxOperations 次操作内使得盒子里所有的数都小于等于 mid」
mid 越小，所需要的操作次数越多，因此就有了单调性，可以用二分查找来做。如果我们要将最大值降低至 target ，可以计算一下需要多少操作数（每个数大于 target 的数都要尽可能均分），分为以下两种情况：

若操作数大于 maxOperations ，说明 target 太小了，需要往右搜索，否则需要往左搜索。
那么如何计算操作次数 呢？
- 对于一个数 x ，如果它小于等于 mid ，那么不用划分。
- 如果大于 mid ，那么需要进行划分。
  
  当 x 位于 [ mid + 1 ， mid * 2 ] ，需要划分一次，位于 [ mid * 2 + 1 ，mid * 3] ，需要划分两次，因此可以看出需要划分次数为：（x - 1） / mid 。

收获

二分查找
能否二分答案的关键在于问题是否具有决策单调性。也即考虑整个数轴，左边一半满足条件，右边不满足；或者左边一半不满足，右边满足。

通过这道题复习了二分查找。

算法情况

时间复杂度：O（n log C），其中 n 是 nums 的长度，C 是数组 nums 中的最大值，不超过 10⁹。
空间复杂度：O（1）

代码

class Solution {
public:
    int minimumSize(vector<int>& nums, int maxOperations) {
        int left = 1, right = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        int res = 0;
        while(left <= right){
            int mid = (left + right) / 2;
            long long ops = 0;
            for(int num : nums){
                ops += (num - 1) / mid;
            }
            if(ops <= maxOperations){
                // 操作次数少，说明mid太大，减小mid
                res = mid;
                right = mid - 1;
            }
            else{
                // ops > maxOperations
                // mid太小，增大mid
                left = mid + 1;
            }
        }
        return res;
    }
};