跳马问题

题目背景

在爱与愁的故事第一弹第三章出来前先练练四道基本的回溯/搜索题吧……

题目描述

中国象棋半张棋盘如图 $1$ 所示。马自左下角 $(0,0)$ 向右上角 $(m,n)$ 跳。规定只能往右跳，不准往左跳。比如图 $1$ 中所示为一种跳行路线，并将路径总数打印出来。

输入格式

只有一行：两个数 $n$，$m$。

输出格式

只有一个数：总方案数 $total$。

样例 #1

样例输入 #1

4 8

样例输出 #1

37

提示

对于 $100\%$ 的数据：$n,m\le 18$

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思路

马只能走日字形，即向右跳两格再向上或向下跳一格，或向下跳两格再向左或向右跳一格。

推导出状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i - 1][j + 2] + dp[i - 1][j - 2] + dp[i - 2][j + 1] + dp[i - 2][j - 1];

注意：

1. 输入是 n、m ，终点是（m，n）。
2. 只能往右跳，不准往左跳。所以马不可能到达 y 轴，但是可以到达 x 轴。因此循环变量 i 从 1 开始，j 从 0 开始。
3. 在对数组进行操作时需要判断是否越界。

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AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 55;

int dp[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= n; j++)
        {
            if (i > 0)
            {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j + 2];
                if (j > 1)
                {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 2];
                }
            }
            if (i > 1)
            {
                dp[i][j] += dp[i - 2][j + 1];
                if (j > 0)
                {
                    dp[i][j] += dp[i - 2][j - 1];
                }
            }
            // cout << i << " " << j << " " << dp[i][j] << endl;
        }
    }
    cout << dp[m][n] << endl;
    return 0;
}