(基础)半精度浮点数的表示和乘运算

16位半精度浮点数

浮点数的乘运算

根本原理式：
$$\begin{gathered} X=X_S\cdot 2^{X_E} \\ Y=Y_S\cdot 2^{Y_E} \\ X\cdot Y=(X_S\ast Y_S)\cdot 2^{X_E+Y_E} \end{gathered}$$
基本流程：

• 判符号。

• 算尾数：结果的尾数是输入两数的尾数之积。(未标准化)

• 算指数：结果的指数是输入两数的指数之和。(未标准化)

• 标准化和舍位：

  ① 结果化为二级制(1.xx)的形式，取出尾数。

  ② 舍去低位，保留高位。

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floatMult16完整代码

完整代码：

`timescale 100 ns / 10 ps

module floatMult16 (floatA,floatB,product);

input [15:0] floatA, floatB;
output reg [15:0] product;

reg sign;
reg signed [5:0] exponent; //6th bit is the sign
reg [9:0] mantissa;
reg [10:0] fractionA, fractionB;	//fraction = {1,mantissa}
reg [21:0] fraction;


always @ (floatA or floatB) begin
	if (floatA == 0 || floatB == 0) begin
		product = 0;
	end else begin
		sign = floatA[15] ^ floatB[15];
		exponent = floatA[14:10] + floatB[14:10] - 5'd15 + 5'd2;
	
		fractionA = {1'b1,floatA[9:0]};
		fractionB = {1'b1,floatB[9:0]};
		fraction = fractionA * fractionB;
		
		if (fraction[21] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 1;
			exponent = exponent - 1; 
		end else if (fraction[20] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 2;
			exponent = exponent - 2;
		end else if (fraction[19] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 3;
			exponent = exponent - 3;
		end else if (fraction[18] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 4;
			exponent = exponent - 4;
		end else if (fraction[17] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 5;
			exponent = exponent - 5;
		end else if (fraction[16] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 6;
			exponent = exponent - 6;
		end else if (fraction[15] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 7;
			exponent = exponent - 7;
		end else if (fraction[14] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 8;
			exponent = exponent - 8;
		end else if (fraction[13] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 9;
			exponent = exponent - 9;
		end else if (fraction[12] == 1'b0) begin
			fraction = fraction << 10;
			exponent = exponent - 10;
		end 
	
		mantissa = fraction[21:12];
		if(exponent[5]==1'b1) begin //exponent is negative
			product=16'b0000000000000000;
		end
		else begin
			product = {sign,exponent[4:0],mantissa};
		end
	end
end

endmodule

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floatMult16代码逐步解析

符号位sign判断

​ 正正得正，负负得正，正负得负。用异或运算即可。

sign = floatA[15] ^ floatB[15];

指数exponent计算

​ floatA与floatB的指数相加，初步得到了乘法结果的指数(尚未标准化)。

• 后面进行标准化时，指数要随着"尾数小数点"的移动而变化。

exponent = floatA[14:10] + floatB[14:10] - 5'd15 + 5'd2;

尾数fraction计算

​ floatA与floatB的尾数相乘，初步得到了乘法结果的尾数(尚未标准化)。

• 输入的两个浮点数是上一级操作完成的。fraction为省略整数1的小数部分，因此运算时需要先把这个整数1还回去。
• 此步得到的运算结果尚未经历标准化。
• 两个10bit的二进制相乘结果先暂存为20bit，避免在乘法过程中造成精度损失。后续再进行移位和舍位。

//输入的两个浮点数A,B都是标准的。把整数1先借回去，以便参与运算。
fractionA = {1'b1,floatA[9:0]};
fractionB = {1'b1,floatB[9:0]};
//尾数相乘
fraction = fractionA * fractionB;

尾数fraction的标准化和舍位

​ 通过小数点的移动，将运算结果变为二进制(1.xx)的形式。尾数即取小数点后(xx)的部分。同时，在这个过程中"指数"要同步发生变化。

• 尾数小数点"左移n位"，二进制右移：指数+n。
• 尾数小数点"右移n位"，二进制左移：指数-n。

代码的思路是：

• 从乘法结果尾数的高位开始，寻找到最高位的1。通过左移，将"这一位"变为最高位。

• 半精度浮点数尾数位只取5位。舍去低位。

标准化：

		if (fraction[21] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 1;
			exponent = exponent - 1; 
		end else if (fraction[20] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 2;
			exponent = exponent - 2;
		end else if (fraction[19] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 3;
			exponent = exponent - 3;
		end else if (fraction[18] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 4;
			exponent = exponent - 4;
		end else if (fraction[17] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 5;
			exponent = exponent - 5;
		end else if (fraction[16] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 6;
			exponent = exponent - 6;
		end else if (fraction[15] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 7;
			exponent = exponent - 7;
		end else if (fraction[14] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 8;
			exponent = exponent - 8;
		end else if (fraction[13] == 1'b1) begin
			fraction = fraction << 9;
			exponent = exponent - 9;
		end else if (fraction[12] == 1'b0) begin
			fraction = fraction << 10;
			exponent = exponent - 10;
		end 

舍位：

		mantissa = fraction[21:12];

整合为最后的16位浮点数结果[sign,exponent,fraction]

使用"拼接"语法，最后结果product为16位。

product = {sign,exponent[4:0],mantissa};

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其他

变量宽度表

input [15:0] floatA, floatB;
output reg [15:0] product;

reg sign;
reg signed [5:0] exponent; 
reg [9:0] mantissa;
reg [10:0] fractionA, fractionB;
reg [21:0] fraction;

always敏感列表

本模块为纯组合逻辑，非时序。因此只要有数据输入，便触发模块功能，开始运算。

always @ (floatA or floatB)	begin
   /* -------------------- */ 
end

特殊情况处理

• 输入两个数都是0时，输出也为0。

if (floatA == 0 || floatB == 0) begin
	product = 0;
end

• 不允许指数为负数。在半精度浮点数中，指数本来只有5位。但是代码中的变量设置为6位，其中多出的最高一位是符号位。通过这一位，我们来判断指数的正负。

（这一点从上面操作fraction只进行左移也可以看出来。）

if(exponent[5]==1'b1) begin 
	product=16'b0000000000000000;
end

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学习文章：二进制浮点数以及二进制浮点数算术运算
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