梯度下降法

对于一个二元一次函数 y = ax + b，我们只需要知道两个 (x，y) 点即可获取到 a、b 的值，我们称其为精确解，如下图：
但是如果该函数中存在已知分布的噪声，那么又该如何求解：

我们可以假设 a、b为任意值，则根据输入 x 有预测输出 y'，实际的 y 值与预测的 y' 的差距我们称为损失，对于已知的若干 (x,y) 点的损失则为损失函数：
$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{y^{\prime }}_i{)}^2$$

我们最终的目的是求得a、b使损失值最小，所以可以从当前的参数取值，一步步的按照损失函数下坡的方向下降，直到走到最低点。第一要保证 loss 是下降的，第二要使得下降的趋势尽可能的快。微积分的基础知识告诉我们：沿着梯度的反方向，是函数值下降最快的方向，所以只需要对损失函数求导，并且沿着导数的反方向逐步移动，则会找到最佳的 a、b。我们称这种求解方法为梯度下降法，称该问题为线性回归问题。

代码实现

对 a、b 分别求偏导数：
$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b-y_i{)}^2$$
$$\frac{\partial loss}{\partial a}=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n[(a{x}_i+b-y_i)x_i]$$
$$\frac{\partial loss}{\partial b}=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b-y_i)$$

# 线性回归模型

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 创建样本 y = ax+b，其中x = 1.72，b = 3.69
def create_sample():
    # 生成 0-100 之间 200 个随机数
    x = np.random.rand(200) * 10
    y = x * 1.72 + 3.69 + (np.random.normal(size=200))
    # 转换为 [[x1,y1],[x2,y2]...[xn,yn]] 的矩阵
    return np.array(list(zip(x, y)))


# 计算一次梯度，并更新 a,b 值
def gradient(a_cur, b_cur, points, learning_rate):
    a_gradient = 0
    b_gradient = 0
    points_length = len(points)
    # 计算梯度
    for i in range(0, points_length):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        a_gradient += (2 / points_length) * x * (a_cur * x + b_cur - y)
        b_gradient += (2 / points_length) * (a_cur * x + b_cur - y)

    # 更新 a、b 值
    new_a = a_cur - learning_rate * a_gradient
    new_b = b_cur - learning_rate * b_gradient
    return [new_a, new_b]


# 计算梯度
def computer_loss(a, b, points):
    points_length = len(points)
    loss = 0
    # 计算梯度
    for i in range(0, points_length):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        loss += (a * x + b - y) ** 2
    return loss


points = create_sample()
print("points", points)
a = 0
b = 0
loss_list = list()
for i in range(0, 100000):
    [a, b] = gradient(a, b, points, 0.001)
    loss_list.append(computer_loss(a, b, points))

#求得 a = 1.7219045715547612 b = 3.6145089870651086
print("a = {} b = {}".format(a, b))

# 绘制损失函数
plt.plot(loss_list)
plt.show()