4.5.1 范数与权重衰减

整节理论，详见书本。

4.5.2 高维线性回归

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 生成一些数据，为了使过拟合效果更明显，将维数增加到 200 并使用一个只包含 20 个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05  # 设置真实参数
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

4.5.3 从零开始实现

1. 初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

2. 定义 $L_2$ 范数惩罚

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

3. 定义训练代码实现

   损失函数直接通过 d2l 包导入，损失包含了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

4. 忽略正则化直接训练

train(lambd=0)

w的L2范数是： 14.042692184448242

5. 使用权重衰减

train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.35160931944847107

4.5.4 简洁实现

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},  # PyTorch默认同时衰减权重和偏置，此处使用 weight_decay指定仅权重衰减
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

train_concise(0)

w的L2范数： 12.836501121520996

train_concise(3)

w的L2范数： 0.3978956639766693

练习

（1）在本节的估计问题中使用 $\lambda$ 的值进行实验。绘制训练精度和测试精度有关 $\lambda$ 的函数图，可以观察到什么？

随着 $\lambda$ 的增大可以改善过拟合的现象，但是 $\lambda$ 过大也会影响收敛。

for i in (0, 2, 8, 32, 128, 256):
    train_concise(i)

w的L2范数： 0.008308843709528446

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（2）使用验证集来找最优值 $\lambda$。它真的是最优值吗？

不至于说是最优的，毕竟再怎么样验证集也和训练集分布有些许区别，只能说是比较接近最优值。

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（3）如果我们使用 ${\sum }_i|w_i|$ 作为我们选择的惩罚（$L_1$正则化），那么更新的公式会是什么样子？

如果使用 $L_1$ 正则化则最小化预测损失和惩罚项之和为：

$$LR(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{i=1}^n|w_i|$$

$L_1$ 范数有求导问题，在此，规定在不可导点 $x=0$ 的导数为 0，则：

$$\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}-\eta \frac{\partial LR(\mathbf{w},b)}{\partial \mathbf{w}}=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|B|}\sum _{i\in B}{\mathbf{x}}^{(i)}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)})-\lambda \eta \text{sign}(\mathbf{w})$$

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（4）我们知道 $||\mathbf{w}|{|}^2={\mathbf{w}}^T\mathbf{w}$。能找到类似的矩阵方程吗？（见 2.3.10 节中的弗罗贝尼乌斯范数）

弗罗贝尼乌斯范数时矩阵元素平方和的平方根：

$$||\mathbf{X}|{|}_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{x}_{ij}^2}$$

和L2范数的平方相似，弗罗贝尼乌斯范数的平方：

$$||\mathbf{X}|{|}_F^2={\mathbf{X}}^T\mathbf{X}$$

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（5）回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型，还有其他方法来处理过拟合吗？

Dropout暂退法、多种模型组合等

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（6）在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式 $P(w|x)\propto P(x|w)P(w)$ 得到后验。如何得到正则化的 $P(w)$？

以下参见王木头大佬的视频《贝叶斯解释“L1和L2正则化”，本质上是最大后验估计。如何深入理解贝叶斯公式？》

使用最大后验估计，令：

$$\begin{array}{rl}w& =\underset{w}{\mathrm{argmax}}P(w|x)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}\frac{P(x|w)}{P(x)}\cdot P(w)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}P(x|w)\cdot P(w)\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}\log (P(x|w)\cdot P(w))\\ & =\underset{w}{\mathrm{argmax}}(\log P(x|w)+\log P(w))\end{array}$$

其中：

• $(2)\Rightarrow (3)$ 是由于分母 $P(x)$ 是与 $w$ 无关的常数，故可以忽略。
• $(3)\Rightarrow (4)$ 是由于习惯上添加 $\log$ 运算。

$P(w)$ 作为先验概率可以任取

• 如果取高斯分布 $w\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$，则出现 $L_2$ 正则化：

$$\begin{array}{rl}\log P(w)& =\log \prod _i\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(w_i-0{)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ & =-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _i{w}_i^2+C\end{array}$$

• 如果取拉普拉斯分布 $w\sim \mathrm{Laplace}(0,b)$，则出现 $L_1$ 正则化：

$$\begin{array}{rl}\log P(w)& =\log \prod _i\frac{1}{2b}{e}^{-\frac{|w_i-0|}{b}}\\ & =-\frac{1}{b}\sum _i|w_i|+C\end{array}$$

太奇妙了！