1.树概念及结构

2.二叉树概念及结构

3.二叉树顺序结构及实现

4.二叉树链式结构及实现

内容回顾：

1、顺序表：数组

缺点：

中间或头部插入删除数据需要挪动数据，效率低。
空间不够，需要扩容，扩容有消耗，代价大。
空间2倍扩容，如果数据较少，会有空间的浪费问题

优点：

下标随机访问数据，排序，二分查找效率高。
CPU高速缓存命中率比较高。

2、链表：双向循环带头链表：

缺点：

不能下标随机访问。
CPU高速缓存命中率比较低。

优点：

任意位置插入删除数据效率高
按需申请空间和释放空间，不存在扩容

栈和队列：

底层实现仍然是数组和链表
栈：先进后出
队列：先进先出

3.上述结构都是线性的数据结构，但是今天要介绍的二叉树却是非线性。

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

问题：数组的下标为啥都是从0开始的。

数组在计算机内存中是一段连续的存储空间，数组的元素在内存中是依次排列的。数组名是首元素地址，a[i] == *(a+i)，当i为0的时候，也就是下标为0时，刚好是第一个元素。

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法和双亲表示法。

孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node //匿名结构体
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

双亲表示法：

对于使用仿真指针的双亲表示法，每个结点应有两个域，一个是数据域（元素域），另一个是指示其双亲结点在数组中的下标的仿真指针域。

如图8-3（a）所示是一棵树的逻辑结构，如图8-3（b）所示为使用仿真指针的双亲表示法存储结构。其中，data 域存储的是结点中的元素，parent 域存储的是指示其双亲结点在数组中的下标的仿真指针。结点A是根结点，无双亲结点，所以其parent域的值为一1；结点B的双亲结点是结点A，结点A在数组中的下标是0，所以其parent 域的值为0；其余类推。

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空。
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2现实中的二叉树：

2.3 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K（规定根结点的层数为1），每层的结点数是2^(k-1)，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 $2^{h}-1$ 。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 $n0$ , 度为2的分支结点个数为 $n2$ ,则有 $n0=n2+1$

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度， $h=log_{2}{(n+1)}$

(ps： $h=log_{2}{(n+1)}$ 是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1=n否则无左孩子：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2=n否则无右孩子：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解析：直接利用 $n0=n2+1$ 得出叶子结点的个数为：200

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

解析：非完全二叉树存储在数组中会有空间浪费.

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解析：直接利用 $n0=n2+1$ 、 $n0+n1+n2=2n$ 得出 $2*n0 + n1 -1=2n$ ，由于n1是度为1的节点，完全二叉树中度为1的节点只有1个或0个，2n是偶数，所以n1肯定是1，所以 $2*n0=2n$ ，得出 $n0=n$

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：完全二叉树的范围： $2^{(h-1)}\rightarrow 2^{h}-1$ ，即可得出答案8

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

解析：直接利用 $n0=n2+1$ 、 $n0+n1+n2=767$ 得出 $2*n0 + n1 -1=767$ ，由于n1是度为1的节点，完全二叉树中度为1的节点只有1个或0个，767是奇数，所以n1肯定是0，所以 $2*n0=768$ ，得出 $n0=384$

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

顺序存储访问数据规律：

//访问孩子节点
leftchild = parent*2+1
rightchild = parent*2+2

//访问父亲结点
parent = (child-1)/2

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。