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极限的概念

极限的性质

极限的存在准则

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极限的概念

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极限是数学中的分支——微积分的基础概念，它表示无限趋近于一个固定的数值的过程。在高等数学中，极限可以分为数列极限和函数极限。

1.数列的极限

数列的极限是指对于一个数列{an}中的任意一个项a(n)，当n趋近于某个自然数N时，a(n)的值都无限接近于一个特定的数A，则称A为数列{a(n)}的极限。用符号表示为lim a(n) = A。例如，数列1/n的极限为0，因为当n趋近于无穷大时，1/n的值越来越接近于0。对于收敛的数列，极限是唯一的，并且可以通过一些收敛的子序列来求得。但对于非收敛的数列，极限可能不存在。

2.函数的极限

函数的极限是微分学中的基本概念之一，它是指函数在某一点处的值逐渐趋近于一个特定的数值，这个特定的数值就称为函数的极限。用符号表示为lim f(x) = A，其中f(x)为函数，A为函数的极限。例如，函数f(x) = x²在x=2处的极限为4，因为当x趋近于2时，f(x)的值越来越接近于4。函数的极限可以分为左极限和右极限，分别指当自变量从左侧和右侧趋近于某个点时的极限值。对于连续函数，左极限和右极限相等，并且等于函数在该点的值。

极限的性质

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极限的性质包括以下几点：

1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。同样，如果一个函数存在极限，那么这个极限也是唯一的。
2. 有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但对于函数来说，有界性并不一定成立，比如函数f(x) = sin(x)在实数区间内就没有界。
3. 保不等式性：数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ,使得当n>N时有 xn≥yn（或xn<yn），则有 A≥B（或A<B）。
4. 和实数运算的相容性：如果两个数列{xn} ,{yn} 都收敛，那么数列 {xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。同样地，对于函数来说，如果两个函数f(x)和g(x)都存在极限，那么它们的和、差、积、商等运算后的函数也存在极限，且极限值等于各自极限的和、差、积、商等。
5. 与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn}收敛的充要条件是：数列{xn}的任何非平凡子列收敛于同一值A. 子列收敛于A和原序列收敛于A是有区别的，前者只表明子列本身的特性，而后者则涉及到整个序列的特性。

这些性质在极限理论中是非常重要的，它们是研究极限和微积分的基础。

极限的存在准则

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极限的存在准则主要有两种方法，一种是夹逼定理，另一种是Stolz定理。

夹逼定理：

函数A>B，函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X，那么函数B的极限就一定是X。

这个定理主要应用在数列、数项级数、反常积分、函数列和函数项级数的收敛判定的依据上。

Stolz定理：

如果数列{Xn}与{Yn}满足下列条件：
(1)Yn > 0 ，且lim Yn=a > 0；
(2)如果存在正整数N，使得当n>N时，Xn+1-Xn=b(n>N)，且lim b=0，
那么有lim Xn=a(n→∞)。

这个定理主要用于解决一些一般的数列极限问题。