关系的定义及表示

1、若集合R是A×A的子集，则称R是集合A上的二元关系，简称关系

例：A={1,2}， A×A={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}，A×A的任何一个子集都是A上的关系    

如： R={<1,1>, <2,2>}是A上的关系

2、若集合R是A×B的子集，则称R是从A到B的关系

例：A={1,2},B={3,4}，A×B={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>}

R={<1,3>,<1,4>}是从A到B的关系 

3、称 ={<x,x>|x∈A}为A上的恒等关系 ，称A×A为A上的全域关系

例：A={2,3}，则A上的恒等关系为 ={<2,2,>,<3,3,>}

4、设R是集合A上的关系，R中每一个有序对的第一元素构成的集合，称为R的定义域，记为domR R中每一个有序对的第二元素构成的集合，称为R的值域，记为ranR 

例：R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>}

domR={1,2}；ranR={1,2,3}

例：R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>}

domR={1,2}；ranR={2,3,4}

5、关系矩阵 

设集合A={x1,x2,x3,x4}，若<xi,xj>∈R，则R的关系矩阵的第i行、第j列为1，其他位置为0

例：A={1,2}，R={<1,1>, <2,2>}是A上的关系 设x1=1，x2=2，则A={x1，x2}，R={<x1,x1>,<x2,x2>} 可用关系矩阵表示集合A上的关系R：

6、关系图

设集合A={x1,x2,x3,x4}，若<xi,xj>∈R，则自xi到xj画一条有向边。

例：设R={<1,4>，<2,1>，<2,3>，<3,1>，<4,2>，<4,3>}是A={1,2,3,4}上的关系，画出R的关系图。

 

试题 

设R={<1，b>，<4，a>，<4，d>，<3，b>}是集合A={1,2,3,4}到集合B={a，b，c，d}的关系，则domR=______，ranR=______。

【答案】{1,3,4}              {a,b,d}

设R={<1,3>，<1,4>，<2,3>，<3,1>，<3,4>，<4,2>}是A={1,2,3,4}上的关系，写出R的关系矩阵。

【答案】

设集合S={1,2,3}，下图为S上的二元关系R的关系图。 （1）写出R的集合表达式。 （2）写出R的关系矩阵。

 

【答案】

（1）R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,3>}

（2）​​​​​​​