红黑树
一、红黑树的概念
红黑树(Red Black Tree) 是一种自平衡二叉查找树,在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。
AVL树 VS 红黑树
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红黑树是一种特化的AVL树,都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡,从而获得较高的查找性能。
-
AVL树要求每棵子树的左右高度差不超过1,是严格平衡;而红黑树要求最长路径不超过最短路径的2倍,是近似平衡。
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红黑树是AVL树的一种变体,它要求最长路径不超过最短路径的2倍,左右子树高差有可能大于 1。所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树(AVL),但相比AVL树对红黑树进行平衡的代价较低, 其平均统计性能要强于 AVL 。
- 旋转次数:插入或删除同样的数据,AVL树旋转的次数更多,而由于红黑树近似平衡的性质,旋转的次数更少,平衡代价相对较低。
- 查找效率:对于同样的N个数据,AVL树的高度是严格的log_2 N,红黑树的高度可能略高但最高不超过2log_2 N。对于计算机算力而言,其查找效率的差异可以忽略不计。综合而言,红黑树的性能更优。
二、红黑树的性质
红黑树是每个结点都带有颜色属性的二叉查找树,颜色或红色或黑色。 在二叉查找树强制一般要求以外,对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:
-
性质1. 结点是红色或黑色。
-
性质2. 根结点是黑色。
-
性质3. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。(每条路径上不能有两个连续的红色结点)
-
性质4. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。 (每条路径上的黑色节点数量相同)
-
性质5. 所有NIL结点都是黑色的。(NIL节点即空结点,空树也是红黑树)
这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例,这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的,而不同于普通的二叉查找树。
是性质3导致路径上不能有两个连续的红色结点确保了这个结果。最短的可能路径都是黑色结点,最长的可能路径有交替的红色和黑色结点。因为根据性质4所有路径都有相同数目的黑色结点,这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。
思考:新插入的节点应该设为黑色还是红色?
如果将新插入的节点设为黑色,不管插到那条路径都必然违反性质4。
如果将新插入的节点设为红色:如果父节点是红色则违反性质3,需要进行调整;如果父节点是黑色就正常插入,无需调整。
对比两种情况,最终选择将新插入的节点设为红色。
三、STL中的红黑树结构
- 为了后续实现关联式容器map/set,STL红黑树的实现中增加一个头结点;
- 因为根节点必须为黑色,为了与根节点进行区分,将头结点给成红色;
- 并且让头结点的
_parent
域指向红黑树的根节点,_left
域指向红黑树中最小的节点,_right
域指向红黑树中最大的节点。
头结点的作用:
- STL明确规定,begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间,而对红黑树进行中序遍历后,可以得到一个有序的序列,因此:begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置,end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置,关键是最大节点的下一个位置在哪块?
- 能否给成nullptr呢?答案是行不通的,因为对end()位置的迭代器进行–操作,必须要能找最后一个元素,此处就不行,因此最好的方式是将end()放在头结点的位置:
四、红黑树的核心结构
enum Color{
RED,
BLACK
};
//红黑树的节点
template <class K, class V>
struct RBTreeNode{
RBTreeNode<K,V> *_left;
RBTreeNode<K,V> *_right;
RBTreeNode<K,V> *_parent;
pair<K,V> _kv;
Color _color; //颜色属性,是一个枚举类型
RBTreeNode(const pair<K,V> &kv=pair<K,V>(), Color color = RED)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_kv(kv),
_color(color)
{}
};
//红黑树结构
template <class K, class V>
class RBTree{
typedef RBTreeNode<K,V> Node;
Node *_phead; //指向头结点的指针
public:
RBTree(){
_phead = new Node; //红黑树的头结点
_phead->_left = _phead; //起初先让头结点的左右指针指向自己
_phead->_right = _phead;
}
//插入
bool Insert(const pair<K,V> &kv);
//中序遍历,其内部主要依靠_Inorder递归遍历。
void Inorder();
//查找
Node* Find(const K &k);
//检测红黑树是否为有效的红黑树,其内部主要依靠_IsValidRBTRee递归检测
bool IsValidRBTRee();
private:
//为了操作树简单起见:获取根节点
Node*& GetRoot(){
return _phead->_parent;
}
//获取红黑树最左侧节点
Node* LeftMost(){
Node *root = GetRoot();
if(root == nullptr) //如果根节点为空,就返回_phead
return _phead;
else{
Node *left = root;
while(left->_left!=nullptr)
{
left = left->_left;
}
return left;
}
}
//获取红黑树最右侧节点
Node* RightMost(){
Node *root = GetRoot();
if(root == nullptr) //如果根节点为空,就返回_phead
return _phead;
else{
Node *right = root;
while(right->_right!=nullptr)
{
right = right->_right;
}
return right;
}
}
void _Inorder(Node *root);
bool _IsValidRBTree(Node *root, int blacknum, int &benchmark);
//左单旋
void RotateL(Node* parent);
//右单旋
void RotateR(Node* parent);
};
五、红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件,因此红黑树的插入可分为两步:
-
按照二叉搜索的树规则插入新节点
-
检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏。因为新节点的默认颜色是红色,因此:
- 如果新插入的节点是根节点,需要将节点变为黑色以满足性质2。
- 如果父节点是黑色的,没有违反红黑树的任何性质,则不需要调整;
- 但如果父节点颜色为红色时,就违反了性质3:路径上不能有两个连续的红色结点。此时需要对红黑树分情况来讨论:
在讲解情况三、四、五之前,先说明一下:
- cur为当前节点(关注节点),p(parent)为父节点,g(grandparent)为祖父节点,u(uncle)为叔叔节点;
- cur不一定就是新插入的节点,也有可能是因为 cur 的子树在调整的过程中将 cur 节点的颜色由黑色改成红色。
5.1 情况一:u存在且为红
情况一: cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红
抽象分析:
- 因为cur和p都为红色违反性质3,所以一定要把p变为黑色。
- 但只变p又违反性质4各路径上黑色节点的数量不同,所以要把u也变为黑色。
- 但原来所有路径上只有1个黑色节点(可见的)而现在变为2个。如果g树是子树,又会使整棵树违反性质4。所以要把g变为红色。
- g的父节点也可能是红色,所以要继续向上调整。
解决方式:变色并继续向上调整
- 将p,u都改为黑色,g改为红色;
- 如果g不为根,就把g当成cur继续向上调整;
- 如果g为根,就把g变为黑色。性质2:根节点是黑色的。
具体分析:
cur就是新插入的节点:
cur节点原来是黑色之后又被调整为红色:
注意:a,b,c,d,e可能是连续的几层黑色节点(要求每条路径的黑色节点数量相同),然后才出现上述情况。因为情况太多,过于复杂故作省略。
5.2 情况二:u不存在/u存在且为黑(左左/右右)
情况二: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑(左左/右右)
抽象分析:
- 因为cur和p都为红色违反性质3,所以一定要把p变为黑色。
- 但只变p使左路黑节点+1违反性质4,因此还要以g为轴点右单旋,使左路黑节点-1。
- 但此时由于右单旋使右路黑节点+1,所以要将g变为红色,右路黑节点-1。最终满足性质4。
解决方式:单旋+变色
- 如果p为g的左孩子,cur为p的左孩子(左左),则对g进行右单旋;
- 如果p为g的右孩子,cur为p的右孩子(右右),则对g进行左单旋;
- p、g变色–p变黑色,g变红色。
- 完成旋转变色后每条路径的黑节点数量相同且与插入前也相同,并且根节点为黑色不需要继续往上处理。
具体分析:u 的情况有两种
uncle节点不存在:
如果 u 节点不存在,则 cur 一定是新插入节点,因为如果 cur 不是新插入节点,则 cur 和 p 一定有一个节点的颜色是黑色,就不满足性质4:每条路径黑色节点个数相同。
uncle节点存在且为黑色:
如果 u 节点存在且为黑色,那么 cur 节点原来的颜色也一定是黑色的,现在看到其是红色的原因是因为 cur 的子树在调整的过程中将 cur 节点的颜色由黑色改成红色。
注意:a,b,c,d,e可能是连续的几层黑色节点(要求每条路径的黑色节点数量相同),然后才出现上述情况。因为情况太多,过于复杂故作省略。
5.3 情况三:u不存在/u存在且为黑(左右/右左)
情况三: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑(左右/右左)
抽象图:
情况三先以p为轴点左单旋,转换为情况二。
解决方式:双旋+变色
- p为g的左孩子,cur为p的右孩子(左右),则先对p做左单旋,再对g做右单旋;
- p为g的右孩子,cur为p的左孩子(右左),则先对p做右单旋,再对g做左单旋;
- cur、g变色–cur变黑色,g变红色。
- 完成旋转变色后每条路径的黑节点数量相同且与插入前也相同,并且根节点为黑色不需要继续往上处理。
具体分析:
uncle节点不存在
uncle节点存在且为黑色:
注意:a,b,c,d,e可能是连续的几层黑色节点(要求每条路径的黑色节点数量相同),然后才出现上述情况。因为情况太多,过于复杂故作省略。
总结:
- 二叉树插入操作的难点在于通过变色和旋转操作恢复红黑树的性质,性质得到满足红黑树就能做到近似平衡:最长路径不超过最短路径的两倍。
- 恢复的最终目的:1.关注子树满足红黑树的所有性质 2.插入前后关注子树每条路径的黑节点数量不变(保证整棵树的性质4)
5.4 插入代码
bool Insert(const pair<K,V> &kv)
{
//1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
Node* &root = GetRoot(); //这里注意要用引用接收返回值
if(root == nullptr)
{
//如果新插入的节点是根节点,需要将节点变为黑色以满足性质2
root = new Node(kv, BLACK); //因为GetRoot返回指针的引用,所以改的实际是_phead->_parent
root->_parent = _phead;
_phead->_left = root;
_phead->_right = root;
return true;
}
Node *cur = root;
Node *parent = nullptr;
while(cur != nullptr)
{
if(kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else{
return false;
}
}
cur = new Node(kv,RED); //新插入的节点默认是红色的
if(kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//2.检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏。
//如果父节点是黑色的,没有违反红黑树的任何性质,则不需要调整;
//但如果父节点颜色为红色时,就违反了性质3:路径上不能有两个连续的红色结点。
//上一次循环中grandparent 为根节点,此次循环parent == _phead
while(parent != _phead && parent->_color == RED)
{
Node *grandparent = parent->_parent;
//断言检查:grandparent一定不为空且为黑色!
assert(grandparent != nullptr);
assert(grandparent->_color == BLACK);
Node *uncle = grandparent->_left;
if(parent == grandparent->_left)
uncle = grandparent->_right;
if(uncle != nullptr && uncle->_color == RED) //情况一:uncle存在且为红
{
parent->_color = uncle->_color = BLACK; //变色
grandparent->_color = RED;
cur = grandparent; //继续向上调整
parent = cur->_parent;
}
else //情况二、三:uncle不存在或uncle存在且为黑
{
if(parent == grandparent->_left)
{
if(cur == parent->_left) //左左
{
RotateR(grandparent); //右单旋
parent->_color = BLACK; //变色
grandparent->_color = RED;
}
else{ //左右
RotateL(parent); //左右双旋
RotateR(grandparent);
cur->_color = BLACK; //变色
grandparent->_color = RED;
}
}
else{
if(cur == parent->_right) //右右
{
RotateL(grandparent); //左单旋
parent->_color = BLACK; //变色
grandparent->_color = RED;
}
else{ //右左
RotateR(parent); //右左双旋
RotateL(grandparent);
cur->_color = BLACK; //变色
grandparent->_color = RED;
}
}
//旋转变色后无需继续调整,直接退出循环。
break;
} //end of else
} //end of while
//如果在调整过程中将根节点变为红色,记得重新变回黑色。
if(parent == _phead)
root->_color = BLACK;
//令头节点的左指针指向红黑树的最左节点
_phead->_left = LeftMost();
//令头节点的右指针指向红黑树的最右节点
_phead->_right = RightMost();
return true;
}
5.5 旋转代码
关于旋转的详细讲解请阅读:
【高阶数据结构】AVL树 {概念及实现;节点的定义;插入并调整平衡因子;旋转操作:左单旋,右单旋,左右双旋,右左双旋;AVL树的验证及性能分析}
void RotateL(Node *parent){
Node *subR = parent->_right;
Node *subRL = subR->_left;
Node *ppNode = parent->_parent;
parent->_right = subRL;
if(subRL != nullptr)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if(ppNode == _phead)
{
_phead->_parent = subR;
}
else{
if(ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else{
ppNode->_right = subR;
}
}
subR->_parent = ppNode;
}
void RotateR(Node *parent){
Node *subL = parent->_left;
Node *subLR = subL->_right;
Node *ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if(subLR != nullptr)
subLR->_parent = parent;
if(ppNode == _phead)
{
ppNode->_parent = subL;
}
else{
if(ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else{
ppNode->_right = subL;
}
}
subL->_parent = ppNode;
}
六、查找和遍历
Node* Find(const K &k){
Node *root = GetRoot();
if(root == nullptr)
return nullptr;
Node *cur = root;
while(cur != nullptr)
{
if(k > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else if(k < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
else{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void Inorder(){
_Inorder(GetRoot());
cout << endl;
}
void _Inorder(Node *root){
if(root == nullptr) return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << " ";
_Inorder(root->_right);
}
七、红黑树的验证
红黑树的检测分为两步:
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质
bool IsValidRBTree(){
Node *root = GetRoot();
//空树也是红黑树
if(root == nullptr) return true;
//检查性质2:
if(root->_color != BLACK)
{
cout << "违反性质2:根节点不为黑色!" << endl;
return false;
}
//检查性质3,4:
int benchmark = 0;
return _IsValidRBTree(root, 0, benchmark);
}
//blacknum:用于记录当前路径的黑色节点个数,不能传引用。
//benchmark:用于记录第一条路径的黑色节点个数。需要传引用,返回给上层递归。
bool _IsValidRBTree(Node *root, int blacknum, int &benchmark){
if(root == nullptr)
{
if(benchmark == 0) //表示第一条路径遍历完
{
benchmark = blacknum; //记录第一条路径的黑色节点个数
return true;
}
else{
if(blacknum != benchmark) //如果其他路径的blacknum与第一条路径不同,说明违反性质4
{
cout << "违反性质4:从任意节点到每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点!" << endl;
return false;
}
else{
return true;
}
}
}
//检查性质3:
if(root->_color == RED && root->_parent->_color == RED)
{
cout << "违反性质3:路径上有两个连续的红色节点!" << endl;
return false;
}
if(root->_color == BLACK)
{
++blacknum;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, blacknum, benchmark)
&& _IsValidRBTree(root->_right, blacknum, benchmark);
}