6. 方差分析
单因素多水平方差分析
例6.1 不同装配方式对生产的过滤系统数量的差异性检验
某城市过滤水系统生产公司，有A、B、C3种方式进行过滤水系统的装配，该公司为了研究三种装配方式生产的过滤系统数量是否有差异，从全体装配工人中抽取了15名工人，然后随机地指派一种装配方式，这样每个装配方式就有5个工人。在指派装配方法和培训工作都完成后，一周内对每名工人的装配过滤系统数量进行统计如下：
| 方法A | 方法B | 方法C |
|---|---|---|
| 58 | 58 | 48 |
| 64 | 69 | 57 |
| 55 | 71 | 59 |
| 66 | 64 | 47 |
| 67 | 68 | 49 |
请根据数据判断3种装配方式有无差异
分析过程：由于目标是判断3种装配方式有无差异，多样本的检验用方差分析
于是我们有了原假设和备择假设
H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 ↔ H 1 H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 \leftrightarrow H_1 H0:μ1=μ2=μ3↔H1:均值不全相等
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats
# 数据
A = [58,64,55,66,67]
B = [58,69,71,64,68]
C = [48,57,59,47,49]
data = [A, B, C]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
print('方差齐性假设不成立')
# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 输出结果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)
F_value: 9.176470588235295
p_value: 0.0038184120755124806
结论 选择显著性水平 0.05 的话，p = 0.0038 < 0.05，故拒绝原假设。支持三种装配方式装配数量均值不全相等的备则假设。
例6.2 不同优惠金额对购买转化率的差异性检验
某公司营销中心为了提升销量，针对某产品设计了3种不同金额的优惠，想测试三种优惠方式对于用户的购买转化率是否有显著影响，先收集到了三种不同方式在6个月内的转化率数据
请根据数据判断3种不同优惠金额的转化率有无差异
| 优惠A | 优惠B | 优惠C |
|---|---|---|
| 0.043 | 0.05 | 0.048 |
| 0.047 | 0.048 | 0.05 |
| 0.051 | 0.045 | 0.047 |
| 0.049 | 0.055 | 0.056 |
| 0.045 | 0.048 | 0.054 |
| 0.0469 | 0.0491 | 0.0509 |
分析过程：由于目标是判断3种不同金额的优惠券对于转化率有无差异，多样本的检验用方差分析
于是我们有了原假设和备择假设
H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 ↔ H 1 H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 \leftrightarrow H_1 H0:μ1=μ2=μ3↔H1:认为这几组之间的购买率不一样
P < 0.05 拒绝原假设，倾向于支持不同优惠金额购买率不一样的备择假设。认为不同优惠金额会对购买率产生影响
P > 0.05 无法拒绝原假设。认为不同优惠金额不会对购买率产生影响
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats
A = [0.043 , 0.047 , 0.051 , 0.049 , 0.045 , 0.0469]
B = [0.05 , 0.048 , 0.045 , 0.055 , 0.048 , 0.0491]
C = [0.048 , 0.05 , 0.047 , 0.056 , 0.054 , 0.0509]
data = [A, B, C]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
print('方差齐性假设不成立')
# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 输出结果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)
# F_value: 2.332956563862427
# p_value: 0.13116820340181937
结论 选择显著性水平 0.05 的话，p = 0.1311 > 0.05，故无法拒绝原假设。认为不同优惠金额不会对购买率产生影响
双因素方差分析
1.双因素方差分析（等重复实验）
这里的等重复实验，意思就是针对每个组合做大于等于两次的实验，比如下方例子中表里A1和B1的组合里面有2个数字，即说明做了两次实验，如果是3个数字则说明3次实验，依次类推。
例6.3 不同燃料种类和推进器的火箭射程差异性检验
火箭的射程与燃料的种类和推进器的型号有关，现对四种不同的燃料与三种不同型号的推进器进行试验，每种组合各发射火箭两次，测得火箭的射程如表（以海里计）（设显著性水平为0.05）
| 燃料 | B1 | B2 | B3 |
|---|---|---|---|
| A1 | 58.2 , 52.6 | 56.2 , 41.2 | 65.3 , 60.8 |
| A2 | 49.1 , 42.8 | 54.1 , 50.5 | 51.6 , 48.4 |
| A3 | 60.1 , 58.3 | 70.9 , 73.2 | 39.2 , 40.7 |
| A4 | 75.8 , 71.5 | 58.2 , 51.0 | 48.7 , 41.0 |
import numpy as np
import pandas as pd
d = np.array([[58.2, 52.6, 56.2, 41.2, 65.3, 60.8],
[49.1, 42.8, 54.1, 50.5, 51.6, 48.4],
[60.1, 58.3, 70.9, 73.2, 39.2, 40.7],
[75.8, 71.5, 58.2, 51.0, 48.7,41.4]
])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['A1','A2','A3','A4'],name='燃料')
data.columns=pd.Index(['B1','B1','B2','B2','B3','B3'],name='推进器')
# pandas宽表转长表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['燃料'])
data = data.rename(columns={'value':'射程'})
data.sample(5)
| 燃料 | 推进器 | 射程 |
|---|---|---|
| A2 | B3 | 48.4 |
| A3 | B2 | 73.2 |
| A3 | B3 | 39.2 |
| A4 | B1 | 71.5 |
| A2 | B2 | 54.1 |
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols
# 进行双因素方差分析
model = ols('射程~C(燃料) + C(推进器)+C(燃料):C(推进器)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table
| sum_sq | df | F | PR(>F) | |
|---|---|---|---|---|
| C(燃料) | 261.675 | 3 | 4.41739 | 0.025969 |
| C(推进器) | 370.981 | 2 | 9.3939 | 0.00350603 |
| C(燃料):C(推进器) | 1768.69 | 6 | 14.9288 | 6.15115e-05 |
| Residual | 236.95 | 12 | nan | nan |
结论:
对燃料因素来说，其p = 0.0259 < 0.05 所以拒绝
H
01
H_{01}
H01，认为燃料对射程影响显著；
对推进器因素来说，其p = 0.0035 < 0.05,所以拒绝
H
02
H_{02}
H02，认为推进器对射程影响显著；
对燃料和推进器的交互因素来说，其p = 0.000062< 0.05 ,所以拒绝
H
03
H_{03}
H03，认为交互因素其对射程影响显著。
2.双因素方差分析（无重复实验）
在等重复实验中，我们为了检验实验中两个因素的交互作用，针对每对组合至少要做2次以上实验，才能够将交互作用与误差分离开来，在处理实际问题时候，如果我们一直不存在交互作用，或者交互作用对实验指标影响极小，则可以不考虑交互作用，此时每对组合只做一次实验，类似下方例子中的表中数据：
例6.3 不同时间、不同地点颗粒状物含量差异性检验 无重复实验
下面给出了在5个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物(单位：mg/m°)含 量的数据记录于表中，试在显著性水平 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05下检验不同时间、不同地点颗粒状物含量有无显著差异？（假设两者没有交互作用〉
| 因素B -地点 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 因素A - 时间 | ||||||
| 1995年10月 | 76 | 67 | 81 | 56 | 51 | |
| 1996年01月 | 82 | 69 | 96 | 59 | 70 | |
| 1996年05月 | 68 | 59 | 67 | 54 | 42 | |
| 1996年08月 | 63 | 56 | 64 | 58 | 37 | |
import numpy as np
import pandas as pd
d = np.array([
[76,67,81,56,51],
[82,69,96,59,70],
[68,59,67,54,42],
[63,56,64,58,37]])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['1995年10月','1996年01月','1996年05月','1996年08月'],name='时间')
data.columns=pd.Index(['B1','B2','B3','B4','B5'],name='地点')
# pandas宽表转长表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['时间'])
data = data.rename(columns={'value':'颗粒状物含量'})
data.sample(5)
随机查看5条转化后的数据：
| 时间 | 地点 | 颗粒状物含量 |
|---|---|---|
| 1996年05月 | B4 | 54 |
| 1995年10月 | B4 | 56 |
| 1996年05月 | B3 | 67 |
| 1996年01月 | B2 | 69 |
| 1996年01月 | B3 | 96 |
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols
# 进行双因素方差分析
model = ols('颗粒状物含量~C(时间) + C(地点)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table
| sum_sq | df | F | PR(>F) | |
|---|---|---|---|---|
| C(时间) | 1182.95 | 3 | 10.7224 | 0.00103293 |
| C(地点) | 1947.5 | 4 | 13.2393 | 0.000234184 |
| Residual | 441.3 | 12 | nan | nan |
结论:
对时间因素来说，其p = 0.001033 < 0.05 所以拒绝
H
01
H_{01}
H01，认为时间对颗粒状物含量影响显著；
对地点因素来说，其p = 0.000234 < 0.05,所以拒绝
H
02
H_{02}
H02，认为地点对颗粒状物含量影响显著；
下期将为大家带来《统计学极简入门》之相关分析
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