【01背包理论】01背包问题 dp[i][j]

有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。
第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。
每件物品只有一个，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

题解

动态规划

• 确定 dp 数组以及下标的含义
  dp[i][j] 表示从下标为 [0-i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。

• 确定递推公式
  有两个方向推出来 dp[i][j]：

  • 不放物品 i：由 dp[i - 1][j] 推出，即背包容量为 j，里面不放物品 i 的最大价值，此时 dp[i][j] 就是 dp[i - 1][j] 。(其实就是当物品 i 的重量大于背包 j 的重量时，物品 i 无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同)
  • 放物品 i：由 dp[i - 1][j - weight[i]] 推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 是背包容量为 j - weight[i] 的时候不放物品 i 的最大价值，那么 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
    所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

• dp 数组如何初始化
  从 dp[i][j] 的定义出发，如果背包容量 j 为 0 的话，即 dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
  
  状态转移方程 可以看出 i 是由 i-1 推导出来，那么 i 为 0 的时候就一定要初始化，dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

  • 当 j < weight[0] 的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
  • 当 j >= weight[0] 时，dp[0][j] 应该是 value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

• 确定遍历顺序
  dp[i][j] 都是从其上方和左上方推导而来，有两个遍历的维度：物品与背包重量

• 举例推导 dp 数组（打印 dp 数组）

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 获取物品的数量
        int goodsNum = weight.length;
        //定义dp数组：dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
        int[][] dp = new int[goodsNum][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组，其中默认的值就是0
        for (int i = weight[0]; i <= bagSize; i++) {
            dp[0][i] = value[0];
        }

//        //遍历，先遍历背包，再遍历物品（竖着遍历）
//        for(int j = 1; j <= bagSize; j++) { // 遍历背包容量
//            for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品

        //遍历，先遍历物品，然后遍历背包重量（横着遍历）
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) {   // 遍历物品
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {    // 遍历背包容量
                if (j < weight[i]) {
                    /**
                     * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                     * 那么前 i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                     */
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    /**
                     * 当前背包的容量可以放下物品i
                     * 那么此时分两种情况：
                     *  1、不放物品i
                     *  2、放物品i
                     * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                     */
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        // 打印 dp数组
        for (int i = 0; i < goodsNum; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}