1、贝叶斯算法

2、朴素贝叶斯算法

3、先验概率和后验概率

4、⭐机器学习中的贝叶斯公式

5、文章分类中的贝叶斯

6、拉普拉斯平滑系数

6.1、介绍

6.2、公式

7、API

8、示例

8.1、分析

8.2、代码

8.3、⭐预测流程分析

🍃作者介绍：准大三本科网络工程专业在读，阿里云专家博主，专注于Java领域学习，擅长web应用开发、数据结构和算法，初步涉猎Python人工智能开发。

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⭐分类算法系列①：初识概念

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首先介绍贝叶斯算法，再介绍朴素贝叶斯，朴素贝叶斯是贝叶斯的特殊情况。

1、贝叶斯算法

贝叶斯算法是基于贝叶斯定理的一类算法，用于从已知的条件概率中推断出未知事件的概率。贝叶斯定理是一个描述联合概率分布的数学公式，其形式如下： $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

其中：

P(A∣B) 表示在已知事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率（后验概率）。
P(B∣A) 表示在已知事件 A 发生的情况下事件 B 发生的概率。
P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 的先验概率。

贝叶斯算法的应用范围广泛，包括垃圾邮件过滤、文本分类、推荐系统等。通过不断地更新先验概率和计算后验概率，贝叶斯算法可以根据新的证据不断更新对未知事件的概率估计。

2、朴素贝叶斯算法

朴素贝叶斯算法是贝叶斯算法的一种特例，用于分类问题。它假设特征之间相互独立，从而简化了计算过程。尽管这个假设通常并不成立，但朴素贝叶斯算法在很多实际应用中表现出色。

朴素贝叶斯算法的基本思想是基于贝叶斯定理，通过计算后验概率来判断给定输入数据属于不同的类别。在分类问题中，输入数据被表示为特征向量，而类别即为需要预测的目标类别。朴素贝叶斯分类器根据训练数据学习类别的概率分布，然后根据输入特征计算后验概率，选择概率最高的类别作为预测结果。

朴素贝叶斯算法具有简单、高效的特点，适用于文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等任务。

尽管其假设特征之间独立的前提在现实中不一定成立，但在许多情况下，朴素贝叶斯算法依然能够取得很好的分类效果。

3、先验概率和后验概率

先验概率（Prior Probability）和后验概率（Posterior Probability）都是贝叶斯定理中的概念，用于描述在已知或考虑了一些信息或条件的情况下，事件发生的概率。

先验概率：先验概率是在考虑任何新信息之前，根据以往的经验或已有的知识，对事件发生概率的主观估计。它表示在没有额外信息的情况下，事件发生的概率。在贝叶斯定理中，先验概率被表示为 P(A)，其中 A 表示某个事件。
后验概率：后验概率是在考虑了新信息或额外条件后，对事件发生概率进行更新的概率。它表示在已知一些条件或信息的情况下，事件发生的概率。在贝叶斯定理中，后验概率被表示为 P(A∣B)，其中 A 表示某个事件，B 表示已知的条件或信息。

贝叶斯定理描述了如何根据已知的条件和先验概率计算后验概率，即如何将新信息融入到概率估计中。这个过程可以帮助我们更准确地估计事件的概率，尤其是在有限的数据或信息下。在机器学习和统计中，贝叶斯定理和先验、后验概率的概念经常被用于构建分类器、预测模型和概率推断。

4、⭐机器学习中的贝叶斯公式

原理同普遍条件下的公式肯定是的，但是表现形式可以略有不同。

在机器学习中，特别是在朴素贝叶斯分类器中，贝叶斯公式的形式通常如下：

$P(C_k|X) = \frac{P(X|C_k) \cdot P(C_k)}{P(X)}$

其中：

$P(C_k|X)$ 是给定输入数据 X，在类别 $C_k$ 下发生的后验概率，表示为对于给定数据 X，它属于类别 $C_k$ 的概率。
$P(X|C_k)$ 是在类别 $C_k$ 下，输入数据 X 发生的条件概率，表示为给定类别 $C_k$ 下输入数据 X 的概率。
$P(C_k)$ 是类别 $C_k$ 的先验概率，表示在没有任何信息的情况下，数据属于类别 $C_k$ 的概率。
$P(X)$ 是输入数据 $X$ 的边缘概率，表示数据 $X$ 发生的概率。

这个公式用于计算在给定输入数据 X 的情况下，属于各个类别 $C_k$ 的后验概率。

在分类问题中，我们可以选择具有最高后验概率的类别作为预测的类别。

5、文章分类中的贝叶斯

$P(C|F1,F2,...) = \frac{P(F1,F2,...|C) \cdot P(C)}{P(F1,F2,...)}$

公式分为三个部分(其中C可以是不同类别)：

P(C)：每个文档类别的概率(某文档类别数／总文档数量)
P(W│C)：给定类别下特征（被预测文档中出现的词）的概率
1. 计算方法：P(F1│C)=Ni/N（训练文档中去计算）
  1. Ni为该F1词在C类别所有文档中出现的次数
  2. N为所属类别C下的文档所有词出现的次数和

P(F1,F2,…) 预测文档中每个词的概率

6、拉普拉斯平滑系数

6.1、介绍

拉普拉斯平滑（Laplace Smoothing），也称为加一平滑（Add-One Smoothing）或修正的拉普拉斯法则，是一种用于解决概率估计中的零概率问题的技术。它主要应用于朴素贝叶斯分类器等机器学习和自然语言处理任务中。

在统计学和概率论中，当我们根据已有数据估计事件的概率时，有时候可能会遇到某些事件在训练数据中没有出现，导致估计出的概率为零。这可能会在实际应用中引起问题，例如在贝叶斯分类器中，如果某个特征值在某个类别中未见过，就会导致整个分类概率为零。

拉普拉斯平滑通过为每个可能的特征值添加一个平滑因子，解决了这个问题。平滑因子通常是1，所以也称为加一平滑。它的基本思想是在所有可能的特征值上增加一个计数，使得每个特征值至少出现一次，从而避免零概率的问题。

在朴素贝叶斯分类器中，拉普拉斯平滑应用于计算条件概率。对于每个特征，都会将计数值加1，同时对可能的特征值总数进行加法平滑。这样，在计算后验概率时，就可以避免分子为零的情况。

拉普拉斯平滑的使用使得概率估计更稳定，尤其是在数据量有限的情况下。然而，这种平滑也可能引入一定的偏差，因为它会均匀地将概率分布平移，但在实际应用中，这种偏差通常是可以接受的。

6.2、公式

平滑后的条件概率： $P(x_{ij}|C_k) = \frac{count(x_{ij}, C_k) + \alpha}{N_k + \alpha m}= \frac{count(x_{ij}, C_k) + \alpha}{N_k + |V_i|}$

参数解释：

$count(x_{ij}, C_k)$ 表示在类别 $C_k$ 下特征值 $x_{ij}$ 出现的次数。
$N_k$ 表示在类别 $C_k$ 下的样本总数。
$|V_i|$ 表示特征 $x_i$ 可能的取值数量（例如为训练文档中出现的特征词个数）

这个公式表示了在计算平滑后的条件概率时，为每个特征值 $x_{ij}$ 都加上了一个平滑因子，以确保每个特征值至少出现一次，避免零概率的情况。

7、API

sklearn.naive_bayes.MultinomialNB(alpha = 1.0)

朴素贝叶斯分类

alpha：拉普拉斯平滑系数

8、示例

8.1、分析

代码实现的步骤如下：

分割数据集
tfidf进行的特征抽取
朴素贝叶斯预测

8.2、代码

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author:︶ㄣ释然
# @Time: 2023/9/1 11:00
from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups  # 20类新闻分类
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer  # TF-IDF特征提取
from sklearn.model_selection import train_test_split  # 训练集划分
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB  # 多项式朴素贝叶斯分类器

'''
sklearn.naive_bayes.MultinomialNB(alpha = 1.0)
    朴素贝叶斯分类
    alpha：拉普拉斯平滑系数
'''
def naiveBayes():
    """
        朴素贝叶斯对新闻数据集进行预测
    """
    # 获取新闻的数据，20个类别
    news = fetch_20newsgroups(subset='all')

    # 进行数据集分割
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(news.data, news.target, test_size=0.3)

    # 对于文本数据，进行特征抽取
    tf = TfidfVectorizer()

    x_train = tf.fit_transform(x_train)
    # 这里打印出来的列表是：训练集当中的所有不同词的组成的一个列表
    print(tf.get_feature_names())
    # print(x_train.toarray())

    # 不能调用fit_transform
    # TF-IDF 特征抽取过程中，模型已经通过 x_train 学习了词汇表和特征权重，
    # 因此在处理测试集时只需要进行转换操作，而不再需要重新拟合模型
    x_test = tf.transform(x_test)

    # estimator估计器流程
    mlb = MultinomialNB(alpha=1.0)

    mlb.fit(x_train, y_train)

    # 进行预测
    y_predict = mlb.predict(x_test)

    print("预测每篇文章的类别：", y_predict[:100])
    print("真实类别为：", y_test[:100])

    print("预测准确率为：", mlb.score(x_test, y_test))


if __name__ == '__main__':
    naiveBayes()

实现结果：

在代码中，有一段是：

这部分不能调用fit_transform()：

TF-IDF 特征抽取过程中，模型已经通过 x_train 学习了词汇表和特征权重，

因此在处理测试集时只需要进行转换操作，而不再需要重新拟合模型

8.3、⭐预测流程分析

贝叶斯算法（包括朴素贝叶斯算法）在文本分类中的预测过程涉及计算后验概率，以确定最可能的类别。下面是详细的预测过程说明：

特征提取：首先，文本数据需要经过特征提取的过程，将文本转换为数字化的特征向量。在文本分类中，常用的特征表示方法是 TF-IDF（Term Frequency-Inverse Document Frequency）。
计算先验概率：对于每个类别 $C_k$ ，需要计算它在训练数据中出现的概率，即先验概率 $P(C_k)$ 。这可以通过统计训练数据中属于类别 $C_k$ 的样本数量除以总样本数量来得到。
计算条件概率：对于每个特征 $x_i$ ，需要计算在给定类别 $C_k$ 的情况下特征值 $x_{ij}$ 出现的概率，即条件概率 $P(x_{ij}|C_k)$ 。这可以通过先前提到的拉普拉斯平滑后的条件概率公式来计算。
计算后验概率：对于给定的文本，需要计算它在每个类别下的后验概率，表示在已知文本特征的情况下属于类别的概率。根据贝叶斯定理，后验概率可以表示为：
1. 其中， $P(X|C_k)$ 是在类别 $C_k$ 下文本特征 $X$ 出现的概率，可以根据特征独立性假设进行计算： $P(X|C_k) = P(x_{i1}|C_k) \cdot P(x_{i2}|C_k) \cdot \ldots \cdot P(x_{in}|C_k)$
2. - $P(C_k)$ 是先验概率，
3. - $P(X)$ 是文本特征 $X$ 出现的概率。
决策规则：选择具有最高后验概率的类别作为预测结果。即对于给定的文本 $X$ ，选择满足 $k = \arg\max_k P(C_k|X)$ 的类别 $C_k$ 。