[递归] 子集 全排列和组合问题

news2024/12/23 4:40:56

1.1 子集I

思路可以简单概括为 二叉树，每一次分叉要么选择一个元素，要么选择空，总共有n次，因此到n+1进行保存结果，返回。像这样：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
vector<int >temp;
vector<vector<int> > result;
void DFS(int m){
    if (m == n+1){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }

    //选择元素m
    temp.push_back(m);
    DFS(m+1);//继续递归
    temp.pop_back();//返回
    //选择空
    DFS(m+1);
}

bool cmp(vector<int > &a,vector<int > &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    
    scanf("%d",&n);
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

最后自己编写比较函数，简单来说，vector大小相同时，可以直接按照< >这些比较符号进行比较。大小不同时，则按照vector大小进行排序，这里按照题目要求均是小于。

1.2 子集II

区别在于，自己给定一些元素，进行排序。

那么只需要用一个数组存储这些元素，在压栈/出栈时，换成对应的数组元素即可，思路一致。

代码几乎没有变化。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;
const int N =15;
int q[N];
int n;
void DFS(int m){
    if (m==n+1){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    temp.push_back(q[m]);
    DFS(m+1);
    temp.pop_back();
    DFS(m+1);
}
bool cmp(vector<int> &a ,vector<int> &b){
    if (a.size()!= b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);

    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

1.3 子集III

思路还是二叉树深搜递归，但是由于会出现重复的数，按照之前的输出会重复输出一些值，例如样例里的1的子集都会输出两边，因为代码并没有认为第一个1与第二个1是不同的。

首先输入的序列是升序的，因此我们可以连续地处理这些重复的元素。

例如 2 3 3 3 5 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;
const int N =15;
int q[N];
int n;
void DFS(int idx){
    if (idx==n+1){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    int cnt=1;
    while (idx<n && q[idx]==q[idx+1]){
        cnt++;
        idx++;
    }//经过该循环，idx = 最后一个重复元素的序号，cnt为重复元素的个数

    // 选择空 
    DFS(idx+1);
    //选择重复元素
    for (int i=1;i<=cnt;i++){
        temp.push_back(q[idx]);
        DFS(idx+1);// 选择重复的元素为 1 2 3 ....cnt个
    }
    //在这个循环中，我们将之前添加到 temp 中的元素逐个移除，
    //以回溯到不添加这些重复元素的情况
    for (int i=1;i<=cnt;i++){
        temp.pop_back();
    }
}
bool cmp(vector<int> &a ,vector<int> &b){
    if (a.size()!= b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);

    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

2.1 全排列I

思路很简单，给个图：

 

设置个q[]表示其是否被使用过，依次递归，返回时再赋值0；

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;
int n;
const int N = 10;
int q[N]={0};
void DFS(int m){
    if (m == n+1){
        result.push_back(temp);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!q[i]){
            temp.push_back(i);
            q[i]=1;
            DFS(m+1);
            q[i]=0;
            temp.pop_back();
        }

    }

}
bool cmp(vector<int> &a ,vector<int> &b){
    if (a.size()!=a.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){

    scanf("%d",&n);
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

2.2 全排列II

思路依旧简单，全排列I是用i作为正整数，这次是给定正整数压栈和出栈，q[]来储存输入的数，flag[]来表示其是否被使用过，代码相同

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
int n;
const int N=10;
int q[N];
int flag[N] = {0};
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;
void DFS(int m){
    if (m==n+1){
        result.push_back(temp);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!flag[i]){
            temp.push_back(q[i]);
            flag[i]=1;
            DFS(m+1);
            flag[i]=0;
            temp.pop_back();
        }
    }

}
bool cmp(vector<int> &a,vector<int> &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

2.3 全排列III

如果按照之前的思路，那么样例1会出现大量重复，与子集的解决方法类似，不过是这里是记录每个数的个数，使用cnt[]进行计算，并且每个数只记录一次；

1 1 3 : 只取最后一个重复的id进行记录次数，像这样：cnt[1] = 0 cnt[2]=2 cnt[3] =1

那么全排列就很简单，每次的全排列对于q[i]的数只能用cnt[i]次数。

那么每次for循环

    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (cnt[i]){
            temp.push_back(q[i]);
            cnt[i]--;
            DFS(m+1);
            cnt[i]++;
            temp.pop_back();
        }
    }

只能用一次重复的值 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
int n;
const int N = 10;
int q[N];
int cnt[N]={0};
vector<int> temp;
vector<vector<int> >result;
void DFS(int m){
    if (m==n+1){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (cnt[i]){
            temp.push_back(q[i]);
            cnt[i]--;
            DFS(m+1);
            cnt[i]++;
            temp.pop_back();
        }
    }
}
bool cmp(vector<int> &a,vector<int> &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int j=i;
        cnt[i]=1;
        while (j<=n && q[j]==q[j+1]){
            cnt[i]++;
            j++;
        }
        i = j;
    }
    DFS(1);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;


}

3.1 组合I

 

和全排列很像，不过全排列是有顺序的（样例中3 4 和4 3在全排列均是有效的），而组合是无序的，因此我们在挑选的时候可以人为地进行有序限制，从而不会重复。

思路与这道递归题类似

[递归] 自然数分解之方案数_慕梅^的博客-CSDN博客

我们保证后一个数要大于前一个这样的要求，那么就可实现组合题。

样例2中 两个数x y 满足（x<y）

那我们的DFS(int m)，m则是后面的数需要大于的序号

DFS(0)可以作为入口

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
int n,k;
const int N = 15;


vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;

void DFS(int m){
    if (temp.size()==k){//递归的出口则改为vector <int> temp的大小==k
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    for (int i=m+1;i<=n;i++){
        //循环从 序号m+1开始
        temp.push_back(i);
        DFS(i);//将i作为参数进行下一次的递归
        temp.pop_back();
    }
    return ;

}
bool cmp(vector<int> &a,vector<int> &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    DFS(0);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

 3.2 组合II 

需要自己输入序列，思路不变

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
int n,k;
const int N = 15;
int q[N];
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;

void DFS(int m){
    if (temp.size()==k){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    for (int i=m+1;i<=n;i++){
        temp.push_back(q[i]);
        DFS(i);
        temp.pop_back();
    }
}
bool cmp(vector<int> &a,vector<int> &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);

    DFS(0);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

3.3 组合III

 可以借鉴全排列的思想，使用cnt来进行计数

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
int n,k;
const int N = 15;
int q[N];
int cnt[N]={0};
vector<int> temp;
vector<vector<int> > result;

void DFS(int m){
    if (temp.size()==k){
        result.push_back(temp);
        return ;
    }
    for (int i=m;i<=n;i++){//i从m开始，因为有重复的元素。
        if (cnt[i]){
            cnt[i]--;
            temp.push_back(q[i]);
            DFS(i);
            cnt[i]++;
            temp.pop_back();
        }
    }
}
bool cmp(vector<int> &a,vector<int> &b){
    if (a.size()!=b.size())return a.size()<b.size();
    return a<b;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&q[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int j = i;
        cnt[i] = 1;
        while ((j+1)<=n&&q[j]==q[j+1]){
            cnt[i]++;
            j++;
        }
        i = j;
    }

    DFS(0);
    sort(result.begin(),result.end(),cmp);
    for (int i=0;i<result.size();i++){
        for (int j=0;j<result[i].size();j++){
            if (j==result[i].size()-1)printf("%d",result[i][j]);
            else printf("%d ",result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;

}

不过与前两个组合不同的是

for (int i=m+1;i<=n;i++){

条件因改为

for (int i=m;i<=n;i++){

 如果不该与，之前的序列都是没有重复的元素，因此可以下一次的序号需要+1以保证大于前面的数，然而这里有重复的元素，因此从m开始。

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