完全背包理论基础

视频链接：带你学透完全背包问题！ 和 01背包有什么差别？遍历顺序上有什么讲究？_哔哩哔哩_bilibili

完全背包与01背包不同的地方就是：01背包每种物品只能取一次，而完全背包每种物品可以取无数次。

leetcode 518.零钱兑换II

题目链接：518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

视频链接：动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili

题目概述

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

   输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]

   输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

   5=5

   5=2+2+1

   5=2+1+1+1

   5=1+1+1+1+1

示例 2:

   输入: amount = 3, coins = [2]

   输出: 0

   解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

   输入: amount = 10, coins = [10]

   输出: 1

思路

本题不强调元素顺序，就像示例1中，{221}与{122}是一种组合而不是两种，所以本题求的是组合数（不强调元素之间的顺序）。本题是完全背包，因为物品是可以取无限次的。

依旧是动规五部曲

1.确定dp数组以及下标含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。

2.确定递推公式

dp[j] += dp[j - coins[i]]（求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]]，本题公式是根据这个公式推理的来的）。

3.dp数组初始化

dp[0] = 1。

4.确定遍历顺序

虽然说完全背包中，两层for循环是可以颠倒的，但是本题就不行，本题第一层for循环遍历钱（物品），第二层for循环遍历总额（背包），完全背包就不用特意强调内层循环必须要从后向前遍历。本题有顺序的原因就是因为我们要求的是组合数，一旦颠倒顺序就变成求排列数了。

5.打印dp数组

代码实现

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1,0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0;i < coins.size();i++) {
            for(int j = coins[i];j <= amount;j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];

    }
};

leetcode 377. 组合总和 Ⅳ

题目链接：377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

视频链接：动态规划之完全背包，装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV_哔哩哔哩_bilibili

题目概述

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

思路

本题其实和上一道题差不多，唯一的区别就是本题是有序的，要求排列数，就是在遍历顺序上把两层for循环颠倒一下，其余的几乎不变。

依旧是动规五部曲

1.确定dp数组以及下标含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]。

2.确定递推公式

dp[i] += dp[i - nums[j]]。

3.dp数组初始化

dp[0] = 1。

4.确定遍历顺序

第一层for循环遍历背包，第二层for循环遍历物品。

5.打印dp数组

 

代码实现

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1,0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0;i <= target;i++) {
            for(int j = 0;j < nums.size();j++) {
                if(i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];

    }
};