概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树的特点：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

AVL树节点定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;// 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;// 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 该节点的父节点

	pair<K, V> _kv;// 该节点的平衡因子
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

AVL树节点插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

更新平衡因子的规则:
1、新增在右，parent->bf++; 新增在左，parent->bf–:
2、更新后，parent->bf == 1 r -1，说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新
3、更新后，parent->bf == 0，说明parent插入前的平衡因子是1 r -1，说明左右子树一边高-边低，插入后两边一样高，插入填上了矮了那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
4更新后，parent->bf == 2 r -2，说明parent插入前的平衡因子是1 or -1，已经平衡临界值，插入变成2 or -2，打破平衡，parent所在子树需要旋转处理。
5更新后，parent->bf > 2 r< -2的值，不可能，如果存在，则说明插入前就不是AVL树，需要去检查之前操作的问题.

AVL树四种旋转情况

左单旋

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//1.parent是整棵树的根
		//2.parent是子树的根
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

右单旋

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

先左单旋再右单旋

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		//旋转完后的根节点
		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
 			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

先右单旋后左单旋

	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

元素的插入及控制平衡

typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//如果当前树为空直接设置节点
		if (_root == NULL)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		//需要有指针记录上一个移动位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		//寻找合适位置插入
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//直接插入节点并设置它的指向
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//控制平衡
		//1.更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_right == cur)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{	//如果为1整体向上移动再次调增平衡
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				//说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					//预防调整出错情况
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
			//预防调整出错情况
				assert(false);
			}
		}
		return true;

	}

判断最后节点是否平衡

	//判断是否平衡
bool _IsBanlance(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return true;
		}

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		if (rightH - leftH != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(leftH - rightH) < 2
			&& _IsBanlance(root->_left)
			&& _IsBanlance(root->_right);
	}

	//计算它的最大高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		return max(leftH, rightH) + 1;
	}