1. Ceres Solver 是什么

Ceres 可以解决以下形式的边界约束鲁棒化非线性最小二乘问题：

在这里插入图片描述
给定初始值，通过优化算法，得到最优解。

其中， $f_i$ 是CostFunction，也叫误差函数，或者代价函数。 $\rho_i$ 是LossFunction。LossFunction 是一个标量函数，用于减少异常值对非线性最小二乘问题的解决方案的影响。 $x_i$ 就是我们输入的变量（包括要优化的和不用优化的）。

2. 如何使用Ceres

Ceres 求解优化问题的函数是：

CERES_EXPORT void Solve(const Solver::Options& options,
                        Problem* problem,
                        Solver::Summary* summary);

Ceres的用法就是围绕这个函数的参数展开的。

2.1 Solver::Options

Solver::Options 用来设置优化的参数。

常用的就是设置迭代的次数，步长，线性求解器的类型。

2.2 Problem

Problem 用来定义待解的优化问题。

在这里插入图片描述
核心就是往优化问题里面添加Residual block：

template <typename... Ts>
ResidualBlockId AddResidualBlock(CostFunction* cost_function,
                                 LossFunction* loss_function,
                                 double* x0,
                                 Ts*... xs)

残差块有三个参数，cost_function对应 $f_i$ ，loss_function对应 $\rho_i$ ，x0和xs对应 $x_i$ 。

我们来展开讲CostFunction和LossFunction。

2.2.1 CostFunction

CostFunction是一个基类，单看这个基类本身是没什么作用的，实际上使用的时候是用它的派生类AutoDiffCostFunction，如下所示：

template <typename CostFunctor,
	int kNumResiduals,  // Number of residuals, or ceres::DYNAMIC.
	int... Ns>          // Number of parameters in each parameter block.
class AutoDiffCostFunction final
	: public SizedCostFunction<kNumResiduals, Ns...> {
public:
	// Takes ownership of functor by default. Uses the template-provided
	// value for the number of residuals ("kNumResiduals").
	explicit AutoDiffCostFunction(CostFunctor* functor,
		Ownership ownership = TAKE_OWNERSHIP)
		: functor_(functor), ownership_(ownership) {
		static_assert(kNumResiduals != DYNAMIC,
			"Can't run the fixed-size constructor if the number of "
			"residuals is set to ceres::DYNAMIC.");
	}
	...
}

对于这个类，我们要关注的是CostFunctor，因为它定义的就是我们优化问题的cost_function，也就是方程中的 $f_i$ 。这个CostFunctor是一个结构体，我们需要在里面重写Operator()，从而定义我们的cost_function，如下所示：

struct CostFunc
{
	template <typename T>
	bool operator()(const T* const x0,
		const T* const ... xs,
		T* residuals) const
		{
			//定义residuals是怎么来的
			//...
			return true;
		}
};

举个例子：

$\frac {1} {2} (10−x)^2$

那么，residuals就对应方程里面的10-x.

2.2.2 LossFunction

LossFunction 就是套在cost_function外面一层的修饰，为了提升鲁棒性。一般是nullptr，代表LossFunction就是1。如果为了提升鲁棒性，可以换成别的函数，常用的是HuberLoss：

在这里插入图片描述
在Ceres里面的代码如下：

class CERES_EXPORT HuberLoss final : public LossFunction {
	 public:
	  explicit HuberLoss(double a) : a_(a), b_(a * a) {}
	  void Evaluate(double, double*) const override;
	
	 private:
	  const double a_;
	  // b = a^2.
	  const double b_;
};