序列dp

$f[i]$ 表示以 $i$ 结尾的连续子数组的最大乘积，$d[i]$ 表示以 $i$ 结尾的连续子数组的最小乘积 。

如果只有正数，我们只需要考虑最大乘积 $f[i]$ ；有负数，需要考虑与负数相乘的数，越小越好。所以 $d[i]$ 维护最小乘积。

从思维考虑，上面的思想已经足以写出代码。理论证明需要正数负数分情况讨论，最后根据公式归一化——步骤繁琐，思维简单，感兴趣的同学可以尝试证明。

状态转移方程 :

$f[i]=max\{\begin{array}{l}nums[i]\\ nums[i]\times f[i-1]\\ nums[i]\times d[i-1]\end{array}$

$d[i]=min\{\begin{array}{l}nums[i]\\ nums[i]\times f[i-1]\\ nums[i]\times d[i-1]\end{array}$

朴素dp

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n,0),d(n,0);
        f[0] = nums[0],d[0] = nums[0];
        for(int i = 1;i<n;i++){
            f[i] = max(max(nums[i],nums[i]*f[i-1]),nums[i]*d[i-1]);
            d[i] = min(min(nums[i],nums[i]*d[i-1]),nums[i]*f[i-1]);
        }
        int ans = INT_MIN;
        for(auto &t:f) ans = max(ans,t);
        return ans;
    }
};

1. 时间复杂度 : $O(n)$ ， $n$ 是数字数量，状态转移的时间复杂度 $O(n)$ 。
2. 空间复杂度 : $O(n)$ ， 所有状态的空间复杂度 $O(n)$ 。

滚动数组

注意到，新状态 $f[i]$ 只与上一个状态 $f[i-1]$ 有关，可以用滚动数组优化为常数空间。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int f = nums[0], d = nums[0],ans = nums[0];
        for(int i = 1;i<nums.size();i++){
            int lf = f, ld = d;
            f = max(max(nums[i],nums[i]*lf),nums[i]*ld);
            d = min(min(nums[i],nums[i]*ld),nums[i]*lf);
            ans = max(ans,f);
        }
        return ans;
    }
};

1. 时间复杂度 : $O(n)$ ， $n$ 是数字数量，状态转移的时间复杂度 $O(n)$ 。
2. 空间复杂度 : $O(1)$ ， 只使用常数级空间 。

AC

致语

• 理解思路很重要
• 读者有问题请留言，清墨看到就会回复的。