克鲁斯卡尔算法

介绍

1. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2. 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n - 1 条边，并保证这 n - 1 条边不构成回路。
3. 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔最佳实践 - 公交站问题

1. 有北京有新增 7 个站点（A,B,C,D,E,F,G），现在需要修路把 7 个站点连通
2. 各个站点的距离用边线表示（权），比如 A - B距离 12 公里
3. 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修路总里程最短？

克鲁斯卡尔算法分析

问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序

问题二：将边添加到最小生成树中时，怎样判断是否形成回路

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可

问题二，处理方式是：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

代码实现

public class KruskalCase {
    private int edgeNum; // 边的个数
    private char[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    // 使用 INF 表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int matrix[][] = {
                {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
        };
        // 创建对象实例
        KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
        kruskalCase.print();
        // 克鲁斯卡尔算法
        kruskalCase.Kruskal();
    }

    /**
     * 构造器初始化
     *
     * @param vertexs 顶点数组
     * @param matrix  邻接矩阵
     */
    public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
        // 初始化顶点数和边的个数
        int vlen = vertexs.length;

        // 初始化顶点
        this.vertexs = new char[vlen];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }

        // 初始化边
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }

        // 统计边
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {
                if (this.matrix[i][j] != INF) {
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 克鲁斯卡尔算法
     */
    public void Kruskal() {
        int index = 0; // 表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum]; // 用于保存“已有最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中的终点
        // 创建结果数组，保存最后的最小生成树
        EData[] rets = new EData[edgeNum];
        // 获取图中所有的边的集合
        EData[] edges = getEdges();
        // 按照边的权值大小进行排序
        sortEdges(edges);
        System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length);
        // 遍历 edges，将边加入到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入
        for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            // 获取到第 i 条边的第 1 个顶点
            int p1 = getPosition(edges[i].start);
            // 获取到第 i 条边的第 2 个顶点
            int p2 = getPosition(edges[i].end);
            // 获取 p1 顶点在已有的最小生成树中的终点
            int m = getEnd(ends, p1);
            // 获取 p2 顶点在已有的最小生成树中的终点
            int n = getEnd(ends, p2);
            // 判断是否构成回路
            if (m != n) {
                ends[m] = n; // 设置 m 在“已有最小生成树”中的终点
                rets[index++] = edges[i]; // 有一条边加入到 rets 数组
            }
        }

        // 统计并打印“最小生成树”，输出 rets
        System.out.println("最小生成树为：");
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(rets[i]);
        }
    }

    /**
     * 打印
     */
    public void print() {
        System.out.println("邻接矩阵为：");
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%10d\t", matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 对边进行排序处理，冒泡
     *
     * @param edges 边的集合
     */
    private void sortEdges(EData[] edges) {
        for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
                if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
                    EData tmp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j + 1];
                    edges[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 得到顶点对应下标
     *
     * @param ch 顶点的值
     * @return 返回顶点的下标，找不到返回 -1
     */
    private int getPosition(char ch) {
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if (vertexs[i] == ch) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 获取图中的边，放到 EData[] 数组中
     * 通过 matrix 邻接矩阵获取
     *
     * @return
     */
    private EData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EData[] edges = new EData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
                if (matrix[i][j] != INF) {
                    edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edges;
    }

    /**
     * 获取下标为 i 的顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同
     *
     * @param ends 记录各个顶点对应的终点是哪个，ends 是在遍历过程中逐步形成的
     * @param i    表示传入的顶点对应的下标
     * @return 返回下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标
     */
    private int getEnd(int[] ends, int i) {
        while (ends[i] != 0) {
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }
}

// 创建 EData，他的对象实例表示边
class EData {
    char start; // 边的起点
    char end; // 边的终点
    int weight; // 边的权值

    public EData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "EData[" +
                "<" + start +
                ", " + end +
                "> = " + weight +
                ']';
    }
}