分数 10
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作者 颜晖
单位 浙大城市学院
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立了卓越的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了知道有多少兵，同时又能保住军事机密，便让士兵排队报数：
- 按从1至5报数，记下最末一个士兵报的数为1；
- 再按从1至6报数，记下最末一个士兵报的数为5；
- 再按从1至7报数，记下最末一个士兵报的数为4；
- 最后按从1至11报数，最末一个士兵报的数为10；
请编写程序计算韩信至少有多少兵。
输入格式：
本题无输入
输出格式：
输出韩信至少拥有的士兵人数。
代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
64 MB
我的答案：
C语言：
#include<stdio.h>
int main() {
int x;
for (x = 1;; x++) {
if (x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10) {
printf("%d\n", x);
break;
}
}
return 0;
}
C++：
#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
int x;
for (x = 1;; x++) {
if (x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10) {
cout << x << endl;
break;
}
}
return 0;
}
总结：
什么是同余定理：
同余定理，或称为模运算定理，是数论中一个基本的概念。它提供了一种关于整数与模之间的关系的表达方式。以下是它的基本定义和性质：
**定义**：
如果两个整数\( a \)和\( b \)除以正整数\( m \)所得的余数相同，那么我们称\( a \)和\( b \)关于模\( m \)同余，记作：
\[ a \equiv b \mod m \]
例如：由于7除以3的余数是1，和10除以3的余数也是1，所以我们可以说\( 7 \equiv 10 \mod 3 \)。
**基本性质**：
1. \( a \equiv b \mod m \)和\( c \equiv d \mod m \) => \( a + c \equiv b + d \mod m \)
2. \( a \equiv b \mod m \)和\( c \equiv d \mod m \) => \( a - c \equiv b - d \mod m \)
3. \( a \equiv b \mod m \)和\( c \equiv d \mod m \) => \( ac \equiv bd \mod m \)
以上性质表明，同余关系对加法、减法和乘法都是封闭的，也就是说，你可以在同余关系下执行这些操作，并保持结果的同余关系。
**应用**：
同余定理在数学和计算中都有很多应用。例如，在密码学中，模运算和同余定理经常被用来设计加密算法。在编程和算法中，模运算经常用来确保数字不会溢出或限制其范围。
中国剩余定理是同余定理的一个重要应用，它提供了一个方法来解决多个同余方程组的问题。
从“韩信点兵”的问题中，我们可以学到以下几点：
1. **同余定理的应用**: 韩信点兵是同余定理的一个经典应用。它为我们提供了一个实际的背景来理解和应用这个重要的数论概念。
2. **暴力求解法的可行性**: 虽然暴力求解法在某些情况下可能不是最优的，但在某些具体问题中，如给定范围内的模数较小，暴力求解法是完全可行的。
3. **问题的简化**: 韩信点兵实际上是一个更复杂问题的简化版本，它只考虑了少量的模数。这提醒我们，在面对一个复杂问题时，先考虑一个简化的版本或特定的子集可能有助于我们更好地理解问题并找到解决方案。
4. **数学与现实生活的结合**: 韩信点兵为我们提供了一个实际的历史背景来展示数学是如何应用于现实生活中的。这增强了数学学习的趣味性和实用性。
5. **多种方法求解同一问题**: 除了暴力求解法，这个问题还可以使用中国剩余定理来解决。这提醒我们，对于许多数学或算法问题，都存在多种求解方法。选择哪种方法取决于具体的应用背景和资源限制。
6. **编程练习**: 对于学习编程和算法的人来说，实际编写代码来解决这样的问题是一个很好的练习。它帮助我们加深对同余定理的理解，同时提高我们的编程能力和算法设计技能。
总的来说，通过解决“韩信点兵”这个问题，我们不仅加深了对同余定理的理解，而且还提高了我们的问题解决和编程能力。
