图文详解二叉树

一、树形结构概念特性
二、树形结构基本概念术语
三、树的存储结构
四、二叉树概念与特性
五、特殊的二叉树
六、二叉树的性质
七、二叉树的存储结构
八、二叉树的基本操作
- 1、二叉树的遍历
- - （1）前中后序遍历
  - （2）经典找序列
  - （3）层序遍历
- 2、获取树中节点的个数
- 3、二叉树叶子的结点个数
- 4、获取第K层节点的个数
- 5、二叉树的高度
- 6、检测值为value的元素是否存在
- 7、判断一棵树是不是完全二叉树

一、树形结构概念特性

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。由于它在结构上看起来像一颗倒挂的树，根朝上，而叶朝下，因而叫做树。

结构特性：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M个互不相交的集合，每个集合又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有 $1$ 个前驱，可以有 $0$ 个或多个后继。

应用场景:
树形结构在各个领域都有着广泛的应用，用于处理层次化的数据和建立关联关系。比较常见的有：

文件系统管理（目录和文件）
XML/HTML文档解析

树形结构示意图：

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，其中就包括：

除根节点外，每个结点有且仅有 $1$ 个父节点
一颗 $N$ 个结点的树，有 $N - 1$ 条边

二、树形结构基本概念术语

以下这些概念是需要掌握的，大家一定要理解每个术语的含义：

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：F、H、I、K、L 节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

以下概念只需了解，只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：B、C、D…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

三、树的存储结构

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，
孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。其中常用的是孩子兄弟表示法，具体结构如下：

class Node {
	int value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

四、二叉树概念与特性

二叉树是一种特殊的树形结构：

二叉树不存在度大于 $2$ 的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

五、特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为 $k$ ，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 $k$ 的，有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 $k$ 的满二叉树中编号从 $0$ 至 $n - 1$ 的结点一一对应时称之为完全二叉树。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

六、二叉树的性质

若规定根结点的层数为 $1$ ，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点.
若规定只有根结点的二叉树的深度为 $1$ ，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^{k}-1(k>=0)$ .
对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为 $n_{0}$ ，度为 $2$ 的非叶结点个数为 $n_{2}$ ，则有 $n_{0}＝n_{2}＋1$ ，即度为 $0$ 的节点比度为 $2$ 的节点多 $1$ 个.
具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度 $k$ 为 $log_2(n+1)$ 上取整.
具有 $n$ 个结点的完全二叉树，如果 $n$ 为奇数，则度为 $1$ 的节点个数为 $2$ ；如果 $n$ 为偶数，则度为 $1$ 的节点个数为 $1$ .
对于具有 $n$ 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 $0$ 开始编号，则对于序号为 $i$ 的结点有：
若 $i = 0$ ， $i$ 为根结点编号，无双亲结点.
若 $i > 0$ ，双亲序号： $(i - 1) /2$ .
若 $2 i + 1 < n$ ，左孩子序号： $2 i + 1$ ，否则无左孩子.
若 $2 i + 2 < n$ ，右孩子序号： $2 i + 2$ ，否则无右孩子.

注意：以上性质都非常重要，并且经常出现在题目当中。

七、二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。本节介绍链式存储结构，顺序存储结构在优先级队列讲解。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉（孩子表示法）和三叉（孩子双亲表示法）表示方式：

// 孩子表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

八、二叉树的基本操作

前置知识：根据定义我们知道，二叉树是递归定义的，也就是说一个二叉树要么是空树，要么由一个根节点和两个子树组成，而子树本身也符合同样的定义。这种定义方式将整个二叉树的结构递归地分解为更小的二叉树结构。因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

1、二叉树的遍历

遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

（1）前中后序遍历

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果 $N$ 代表根节点， $L$ 代表根节点的左子树， $R$ 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

递归遍历示意图：

先序遍历： $1\ 2\ 4\ 3\ 5\ 6$
中序遍历： $4\ 2\ 1\ 5\ 3\ 6$
后续遍历： $4\ 2\ 5\ 6\ 3\ 1$

代码实现：

// 二叉树：孩子表示法
    static class BTNode {
        public BTNode left;
        public BTNode right;
        char val;

        public BTNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //先序遍历：根->左->右
    void preOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
        // 左子树
        preOrder(root.left);
        // 右子树
        preOrder(root.right);

    }

    //中序遍历：左->根->右
    void inOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 左子树
        inOrder(root.left);
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
        // 右子树
        inOrder(root.right);
    }

    //后序遍历：左->右->根
    void postOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 左子树
        postOrder(root.left);
        // 右子树
        postOrder(root.right);
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
    }

（2）经典找序列

在二叉树序列这里，经常出现一类经典的笔试题目：已知中序遍历序列和前（后）序遍历序列，求后（前）序遍历序列？那么这类题目该如何解呢？下面我通过两道例题讲解：

📝例一：已知某二叉树的前序遍历序列为 $5\ 7\ 4\ 9\ 6\ 2\ 1$ ，中序遍历序列为 $4\ 7\ 5\ 6\ 9\ 1\ 2$ ，则其后序遍历序列为？
解题思路：

通过前序遍历找到树的根，第一个即为根。
在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。
从前向后看前序遍历序列，递归思想重复步骤 $2$ ，直到确定二叉树结构。

📝例二：设一课二叉树的中序遍历序列： $b\ a\ d\ c\ e$ ，后序遍历序列： $b\ d\ e\ c\ a$ ，则二叉树前序遍历序列为？
解题思路：

通过后序遍历找到树的根，最后一个即为根。
在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。
从后向前看后序遍历序列，递归思想重复步骤 $2$ ，直到确定二叉树结构。

（3）层序遍历

层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第 $1$ 层的树根节点，然后从左到右访问第 $2$ 层上的节点，接着是第 $3$ 层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

同样以上述二叉树为例，层序遍历的结果为： $A\ B\ C\ D\ E\ F\ G\ H$

求解思路：

使用队列，让根节点入队。
出队并输出节点 $v a l u e$ 值。
如果出队节点的左节点不为空，左节点入队；右节点不为空，右节点入队。
重复上述步骤 $2$ 、步骤 $3$ ，直到队列为空，层序遍历完成。

代码实现：

	// 层序遍历
    public void levelOrder(BTNode root) {
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        if (root == null) {
            return;
        }
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

2、获取树中节点的个数

思路

求二叉树叶子结点的个数，就是求左子树和右子树中叶子节点的个数，因此使用递归遍历二叉树结点。
最后，将左子树节点个数、右子树节点个数和当前节点（根节点）的个数相加，得到当前子树的节点个数，并将其作为结果返回。

     // 获取树中节点的个数
    int size(BTNode root) {
    	// 递归终止条件
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        // 左子树结点个数
        int leftTree = size(root.left);
        // 右子树结点个数
        int rightTree = size(root.right);
        // 当前子树的节点个数
        return leftTree + rightTree + 1;
    }

3、二叉树叶子的结点个数

子问题思路：

求二叉树叶子结点的个数，就是求左子树和右子树中叶子节点的个数，因此使用递归遍历二叉树结点。
如果结点存在且左右子树都为 $n u ll$ ，则该节点就是叶子结点，返回值 $1$ 代表当前叶子结点。
最后，将左子树叶子节点个数和右子树叶子节点个数相加，得到当前子树的叶子节点个数，并将其作为结果返回。

    // 二叉树叶子的结点个数
    int getLeafNodeCount(BTNode root) {
        // 空子树回0
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        // 叶子结点的条件：结点左右都为空
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        // 左子树
        int leftTree = getLeafNodeCount(root.left);
        // 右子树
        int rightTree = getLeafNodeCount(root.right);
        // 返回子树叶子结点个数
        return leftTree + rightTree;
    }

4、获取第K层节点的个数

思路：

求二叉树的第 $k$ 层有多少个结点，就是求二叉树的左子树的第 $k - 1$ 层，和右子树的第 $k - 1$ 层有多少个结点。因此使用递归遍历二叉树结点。
如果递归遍历过程中， $k$ 为 $1$ ，说明当前结点即为二叉树的第k层节点，此时返回值 $1$ 代表当前第K层结点。
最后将将左子树第 $k - 1$ 层节点个数和右子树第 $k - 1$ 层节点个数相加，得到当前子树第 $k$ 层的节点个数，并将其作为结果返回。

     // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(BTNode root, int k) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        int leftTree = getKLevelNodeCount(root.left, k - 1);
        int rightTree = getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
        return leftTree + rightTree;
    }

5、二叉树的高度

思路

二叉树的高度 = $M a x$ (左树高度，右树高度) $+ 1$
使用递归遍历二叉树的左右子树，最后将 $M a x$ (左树高度，右树高度) $+ 1$ 作为结果返回。

    // 二叉树的高度
    int getHeight(BTNode root) {
    	// 空树高度为 0
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        // 左树高度
        int leftHight = getHeight(root.left);
        // 右树高度
        int righttHight = getHeight(root.right);
        // 子树高度
        return leftHight > righttHight ? leftHight + 1 : righttHight + 1;
    }

6、检测值为value的元素是否存在

思路：

使用前序遍历，找到值为 $v a l u e$ 的元素就返回元素地址，否则返回 $n u ll$ 。

	// 检测值为value的元素是否存在
 	BTNode find(BTNode root, int val) {
 		// 空树
        if (root == null) {
            return null;
        }
        // 判断根节点
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
		// 左子树
        BTNode leftTree = find(root.left, val);
        if (leftTree != null) {
            return leftTree;
        }
        // 右子树
        BTNode rightTree = find(root.right, val);
        if (rightTree != null) {
            return rightTree;
        }
        // 没找到
        return null;
    }

7、判断一棵树是不是完全二叉树

思路

使用队列，让根节点入队。
出队，如果出队节点不为 $n u ll$ ，出队节点的左右节点入队。
重复上述步骤 $2$ ，直到出队节点为 $n u ll$ .
继续出队，判断 $n u ll$ 节点下是否存在非 $n u ll$ 节点，如果存在，为非完全二叉树，返回 $f a l se$ ；否则为完全二叉树，返回 $t r u e$ .

    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree1(BTNode root) {
    	//空树一定是完全二叉树
        if (root == null) {
            return true;
        }
        // 辅助队列
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        
        BTNode cur =null;
        // 首先放入根节点
        queue.offer(root);
        // 遇到 null 节点之前的判断
        while(!queue.isEmpty()) {
            cur = queue.poll();
            if (cur!=null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            } else {
                break;
            }
        }
        // 遇到 null 节点之后的判断
        while (!queue.isEmpty()) {
            cur = queue.poll();
            if (cur!=null) {
            	// 如果队列中 null 后存在非 null 元素
                return false;
            }
        }
        return true;
    }