【数据结构】堆的实现，堆排序以及TOP-K问题

news2024/12/23 11:09:40

目录

1.堆的概念及结构

2.堆的实现

2.1初始化堆

2.2销毁堆

2.3取堆顶元素

2.4返回堆的大小

2.5判断是否为空

2.6打印堆

2.7插入元素

2.8堆的向上调整

2.9弹出元素

2.10堆的向下调整

3. 建堆时间复杂度

4. 堆的应用

4.1 堆排序

4.2 TOP-K问题

1.堆的概念及结构

堆是一种数据结构，它是由一组元素组成的，并按照一定的规则进行排序和访问。堆可以看作是一个完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点（对于最大堆）或小于或等于其子节点（对于最小堆）。堆通常用来解决具有优先级的问题，例如找到最大或最小的元素。

 堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

2.堆的实现

这里写的是小根堆，大根堆可以在小根堆的基础上稍作修改。下面是堆要实现的一些接口函数：

//初始化堆
void HeapInit(HP* php);
//销毁堆
void HeapDestory(HP* php);
//插入元素
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
//堆向上调整算法
void AdjustUp(HP* php, int x);
//弹出堆顶元素
void HeapPop(HP* php);
//堆向下调整算法
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int x);
//取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php);
//返回堆的大小
int HeapSize(HP* php);
//判断是否为空
bool HeapEmpty(HP* php);
//打印堆
void HeapPrint(HP* php);

堆的定义：

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

对于一些简单的接口函数，我们就不详细介绍了，在堆中，我们主要要学习的是向上调整算法和向下调整算法。这两个函数分别在插入元素和弹出元素的时候会调用。

2.1初始化堆

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

2.2销毁堆

void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

2.3取堆顶元素

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->a[0];
}

2.4返回堆的大小

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

2.5判断是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

2.6打印堆

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

2.7插入元素

向堆中插入一个元素，我们可以将这个元素插入到堆的尾部，因为堆的实际存储结构是一个数组，我们可以将元素放到数组末尾，但如果仅仅是插入到数组末尾的话，会将堆的结构给破环，我们还需要调用一个向上调整的函数，来调整各个节点间的大小关系。

在插入之前，需要判断堆的容量是否足够，如果堆的容量已满，需要扩容，这里每次扩容实在原来的基础上扩2倍。

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	AdjustUp(php->a, php->size);//向上调整
	php->size++;
}

2.8堆的向上调整

在上面插入元素的过程中，我们已经使用了堆的向上调整算法，下面，我们来看看怎么实现这个向上调整算法吧：

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

图示过程：

void AdjustUp(HPDataType* a, int x)
{
	int child = x;
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
		}
		else
		{
			break;
		}
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

代码分析： 

  1. 初始化变量child为节点x，parent为其父节点的索引，也即 (child - 1) / 2。
  2. 进入一个循环，该循环会一直执行直到节点x上浮到合适的位置或者到达堆顶。
  3. 在循环中，判断节点x的值是否小于其父节点的值，若成立则交换两者的值。
  4. 若节点x的值不小于父节点的值，则跳出循环，因为此时堆的性质已满足。
  5. 更新child和parent的值，将child更新为parent，parent更新为其父节点的索引，也即 (child - 1) / 2。
  6. 重复步骤3-5，直到节点x的值大于或等于其父节点的值，或者到达堆顶。

2.9弹出元素

弹出元素就是将堆顶的元素给删除，但我们不能直接进行删除，这样会将堆的结构给破坏，正确的方法是先将堆顶的元素和最后的元素进行交换，这样保证的首元素的左子树和右子树依然是堆的形态，然后将size自减，最后调用一个堆的向下调整函数。

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	AdjustDwon(php->a, php->size, 0);
}

2.10堆的向下调整

堆的向下调整：每次将父节点和左右孩子的较小值进行交换（小根堆），不断地更新父节点的孩子节点的值。

void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int x)
{
	int parent = x;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
		}
		else
		{
			break;
		}
		parent = child;
		child = parent * 2 + 1;
	}
}
  1. 初始化变量parent为节点x，child为其左子节点的索引，也即 parent * 2 + 1。
  2. 进入一个循环，该循环会一直执行直到节点x下沉到合适的位置或者没有子节点。
  3. 在循环中，首先判断节点x是否有右子节点，并且右子节点的值小于左子节点的值，如果成立则将child更新为右子节点的索引。
  4. 接着判断节点x的值是否大于其子节点的值，若成立则交换两者的值。
  5. 若节点x的值不大于子节点的值，则跳出循环，因为此时堆的性质已满足。
  6. 更新parent和child的值，将parent更新为child，child更新为parent的左子节点的索引，也即 parent * 2 + 1。
  7. 重复步骤3-6，直到节点x的值小于或等于其子节点的值，或者没有子节点。

3. 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

向下调整：

因此：向下调整建堆的时间复杂度为O(N)。

向上调整：

 因此：向上调整建堆的时间复杂度为N*logN;

4. 堆的应用

4.1 堆排序

利用堆排序数组并打印出来：

void testHeapSort()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);

	int a[] = { 1,4,7,5,10,2,8,9,3,6 };
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HeapTop(&hp));
		HeapPop(&hp);
	}
	//释放内存
	HeapDestory(&hp);
}
int main()
{
	testHeapSort();
	return 0;
}

输出结果：

 但是，使用这种方法是不是有点复杂了呢？我们要进行堆排序，还得先写一个堆的数据结构，当然并不是这样的，我们可以将代码进行修改，在原数组上进行建堆：

思路：

对于在原数组上进行建堆，我们可以使用两种方式：

第一种是向上建堆，向上建堆的时间复杂度是 O(N*logN)，我们不推荐使用这种方法。

第二种是向下建堆，它的时间复杂度是O(N），它的效率比向上建堆要高。我们推荐使用向下建堆。

还有一个比较让人难以理解的一点是：如果要进行升序，我们要建大堆，如果要进行降序，我们要建小堆。

void swap(int* x, int* y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//从倒数第一个非叶子节点开始调
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDwon(a, n, i);//向下调整建堆
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDwon(a, end, 0);//向下调整[0,end]的元素
		--end;
	}
}
int main()
{
	int a[] = { 1,4,7,5,10,2,8,9,3,6 };
	int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	HeapSort(a,n);//堆排序
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	return 0;
}

4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

  • 前k个最大的元素，则建小堆
  • 前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

实际应用：在10000000个随机数中找出前十个最大的数字

void AdjustDwon(int* a, int size, int x)
{
	int parent = x;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			int tmp = a[child];
			a[child] = a[parent];
			a[parent] = tmp;
		}
		else
		{
			break;
		}
		parent = child;
		child = parent * 2 + 1;
	}
}

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	int* KMaxHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	assert(KMaxHeap);
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		KMaxHeap[i] = a[i];
	}
	//建小根堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDwon(KMaxHeap, k, i);
	}
	//依次比较a数组中剩余的元素
	for (int i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > KMaxHeap[0])
		{
			KMaxHeap[0] = a[i];
		}
		AdjustDwon(KMaxHeap, k, 0);
	}
	//打印
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", KMaxHeap[i]);
	}
}
void testTopK()
{
	srand(time(0));
	int n = 10000000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		a[i] = rand() % n;//a[i]的范围[1,n]
	}
	//手动设定10个最大的数
	a[2] = n + 3;
	a[122] = n + 5;
	a[1233] = n + 1;
	a[12333] = n + 2;
	a[1322] = n + 8;
	a[2312] = n + 6;
	a[54612] = n + 7;
	a[546612] = n + 9;
	a[5612] = n + 10;
	a[46612] = n + 4;
	PrintTopK(a, n, 10);
}
int main()
{
	testTopK();
	return 0;
}

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