上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

题目背景

XLk 觉得《上帝造题的七分钟》不太过瘾，于是有了第二部。

题目描述

"第一分钟，X 说，要有数列，于是便给定了一个正整数数列。

第二分钟，L 说，要能修改，于是便有了对一段数中每个数都开平方(下取整)的操作。

第三分钟，k 说，要能查询，于是便有了求一段数的和的操作。

第四分钟，彩虹喵说，要是 noip 难度，于是便有了数据范围。

第五分钟，诗人说，要有韵律，于是便有了时间限制和内存限制。

第六分钟，和雪说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过 $64$ 位有符号整数类型的表示范围的限制。

第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。"

——《上帝造题的七分钟·第二部》

所以这个神圣的任务就交给你了。

输入格式

第一行一个整数 $n$ ，代表数列中数的个数。

第二行 $n$ 个正整数，表示初始状态下数列中的数。

第三行一个整数 $m$ ，表示有 $m$ 次操作。

接下来 $m$ 行每行三个整数 k l r。

$k = 0$ 表示给 $[l, r]$ 中的每个数开平方（下取整）。
$k = 1$ 表示询问 $[l, r]$ 中各个数的和。

数据中有可能 $l > r$ ，所以遇到这种情况请交换 $l$ 和 $r$ 。

输出格式

对于询问操作，每行输出一个回答。

样例 #1

样例输入 #1

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
0 1 10
1 1 10
1 1 5
0 5 8
1 4 8

样例输出 #1

19
7
6

提示

对于 $30\%$ 的数据， $1\le n,m\le 10^3$ ，数列中的数不超过 $32767$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $1\le n,m\le 10^5$ ， $1\le l,r\le n$ ，数列中的数大于 $0$ ，且不超过 $10^{12}$ 。

大致思路

按正经思路来说我们需要一个支持开方的线段树，但是！我们可以用一个巧妙的办法AC掉这个题

part1

首先，树状数组可以实现区间查询，区间查询 get！

part2

最关键的部分是我们怎样实现区间每个元素开方

对一个数开方并向下取整，我们可以把他看作是减法。（int自带向下取整）
$tree[x]-=((int)\sqrt {a[i]}-a[i])$

对应在树状数组内也就是一条链的修改，与单点修改相同，只需 $add(i,((int)\sqrt {a[i]}-a[i]))$ 即可。

但这样是不够的，单点修改的时间复杂度过高，无法通过

part3

对于0和1来说，开方是没有意义的，再对他们进行无意义修改非常浪费，因此，我们用一个并查集记录下一个不为0或1的数。

part 2，3代码实现如下

void work(int l,int r){
	for(int i=l;i<=r;i){
		int k=(int)sqrt(a[i]);
		t1.add(i,k-a[i]);//part2部分，单点修改
		a[i]=k;//a[i]记录各个元素实际值
		if(a[i]<=1){//若当前元素为0或1
			fa[i]=i+1;//指向下一个数
		}
		else fa[i]=i;//否则当前元素还可能开方，指向自己
		if(find(i)==i){//若执行操作后当前元素是可能会被开方的，当前fa[i]被修改过，跳到下一个元素（下一个连通块）
			i=i+1;
		}
		else i=fa[i];//否则跳到下一个不为0或1的元素
	}
}

part 4 树状数组与并查集

剩下的只需要打个并查集和树状数组模板就ok啦

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long int
const int N=1e6+1145;
int n,m,fa[N],a[N];
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
int find(int x){
	if(fa[x]==x)return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
struct bit_tree{
	int tr[N];
	void add(int x,int ad){
		while(x<=n){
			tr[x]+=ad;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x){
		int ans=0;
		while(x){
			ans+=tr[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}t1;
void work(int l,int r){
	for(int i=l;i<=r;i){
		int k=(int)sqrt(a[i]);
		t1.add(i,k-a[i]);//part2部分，单点修改
		a[i]=k;//a[i]记录各个元素实际值
		if(a[i]<=1){//若当前元素为0或1
			fa[i]=i+1;//指向下一个数
		}
		else fa[i]=i;//否则当前元素还可能开方，指向自己
		if(find(i)==i){//若执行操作后当前元素是可能会被开方的，当前fa[i]被修改过，跳到下一个元素（下一个连通块）
			i=i+1;
		}
		else i=fa[i];//否则跳到下一个不为0或1的元素
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
		cin>>a[i];
		t1.add(i,a[i]);
	}
	cin>>m;
	while(m--){
		int p,l,r;
		cin>>p>>l>>r;
		if(l>r)swap(l,r);//注意l可能大于r
		if(p==0){
			work(l,r);
		}
		else if(p==1){
			cout<<t1.query(r)-t1.query(l-1)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}