【模板】线段树 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 $k$。
2. 求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

1. 1 x y k：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$。
2. 2 x y：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4

样例输出 #1

11
8
20

提示

对于 $30\%$ 的数据：$n\le 8$，$m\le 10$。
对于 $70\%$ 的数据：$n\le {10}^3$，$m\le {10}^4$。
对于 $100\%$ 的数据：$1\le n,m\le {10}^5$。

保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 $\le {10}^{18}$。

【样例解释】

模板题，思路不过多解释

线段树由很多部分共同实现，比如单点查询，单点修改，区间修改，区间查询等

• 建树

首先，线段树是二叉树，因此具有二叉树的性质，其左儿子节点与右儿子节点是固定的，具体实现如下，其中，$lc(x)$为左儿子，$rc(x)$为右儿子

#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)

其次，线段树的建立为递归建立，最底层的节点对应的就是$a[\mathrm{1...}n]$

void build(int x,int l,int r){
	tag[x]=0;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)];
}

$sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)]$通常会被单独写做一个函数pushup

区间修改与查询

单点修改与查询只需如同建树一样查找到节点修改并pushup或return即可，不过多赘述。

对于区间修改，我们需要用到 lazy_tag 对于一次修改操作我们先不全部进行修改，当火烧眉毛不得不用到这个值时再进行修改，使用一个tag[]数组实现

void cover(int x,int l,int r,int d){//打上tag
	sm[x]+=(r-l+1)*d;
	tag[x]+=d;
}
void pushdown(int x,int l,int r){//tag下传
	if(tag[x]){
		int mid=(l+r)>>1;
		cover(lc(x),l,mid,tag[x]);
		cover(rc(x),mid+1,r,tag[x]);
		tag[x]=0;
	}
}
void modify(int x,int l,int r,int L,int R,int d){//区间修改
	if(l>=L&&r<=R) {
		cover(x,l,r,d);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid) modify(lc(x),l,mid,L,R,d);
	if(R>mid) modify(rc(x),mid+1,r,L,R,d);
	sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)];
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){//区间查询
	int res=0;
	if(l>=L&&r<=R)return sm[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)res+=query(lc(x),l,mid,L,R);
	if(R>mid) res+=query(rc(x),mid+1,r,L,R);
	return res;
}

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long int
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)
const int N=1e6;
int sm[N<<2],tag[N<<2],a[N<<2];
void build(int x,int l,int r){
	tag[x]=0;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)];
}
void cover(int x,int l,int r,int d){
	sm[x]+=(r-l+1)*d;
	tag[x]+=d;
}
void pushdown(int x,int l,int r){
	if(tag[x]){
		int mid=(l+r)>>1;
		cover(lc(x),l,mid,tag[x]);
		cover(rc(x),mid+1,r,tag[x]);
		tag[x]=0;
	}
}
void modify(int x,int l,int r,int L,int R,int d){
	if(l>=L&&r<=R) {
		cover(x,l,r,d);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid) modify(lc(x),l,mid,L,R,d);
	if(R>mid) modify(rc(x),mid+1,r,L,R,d);
	sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)];
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
	int res=0;
	if(l>=L&&r<=R)return sm[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)res+=query(lc(x),l,mid,L,R);
	if(R>mid) res+=query(rc(x),mid+1,r,L,R);
	return res;
}
int n,m;
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int o;
		cin>>o;
		if(o == 1){
			int l,r,k;
			cin>>l>>r>>k;
			modify(1,1,n,l,r,k);
		}
		if(o == 2){
			int l,r;
			cin>>l>>r;
			cout<<query(1,1,n,l,r)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

附封面（虽然我不是三玖党，但是三玖天下第一，三玖不赢还能谁赢啊喂！）

四叶啊，那没事了

找封面的时候找到两张好图，就一起放力www