二分法：二分搜索法
不断缩小解可能存在的范围，从而求得问题最优解的方法
二分法的时间复杂度为O(logn)
二分题目主要分为二分查找、二分答案，二分类型分为整数二分、实数域上二分
整数二分
在闭区间[left,right]之间，不断二分，直到left = right时，循环结束
模板1：区间[left,right]被划分成[left, mid]和[mid + 1, right]
求等于key的位置以及大于key的第一个位置
模板2：区间[left, right]被划分成[left, mid - 1]和[mid, right]
求小于key的第一个位置
import org.junit.Test;
public class IntegerDichotomous {
@Test
public void test() {
int[] arr = new int[]{2,2,4,6,8,9};
System.out.print(template1(arr,3));
}
//模板1：区间[left,right]被划分成[left, mid]和[mid + 1, right]，mid归右边界
// key大于等于时left=mid+1，key小于时right=mid;
// mid=right，left=mid+1
//求等于key的位置以及大于key的第一个位置
public static int template1(int[] arr, int key) {
int left = 0, right = arr.length - 1;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;//向下取整
if (arr[mid] >= key) {
right = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return right;
}
//模板2：区间[left, right]被划分成[left, mid - 1]和[mid, right]，mid归左边界
//arr[mid]=key，left=mid,right=mid-1
//求小于key的第一个位置
public static int template2(int[] arr, int key) {
int left = 0, right = arr.length - 1;
while (left < right) {
int mid = (left + right + 1) / 2;//向上取整
if (arr[mid] <= key) {
left = mid;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return right;
}
}
浮点数二分
浮点数二分没有边界问题，对于两个数之间来说，一定是有值的
- 整数二分：4和5之间没有值
- 浮点数二分：4~4.5，4~4.25，4~4.125，4~4.0625，........ 能够一直取数，那么我们就需要一个精度确定什么时候不再取数
确定精度eps，确定二分终止条件
tip：条件要求保留k位小数，精度eps=1e^(-k-2)，表示1*10的负(k+2)次方
为什么是k+2不是k？
如果是k，那么会有进位的问题。例如0.002~0.006保留两位小数，0.006进位0.01，0.002不进位，进位后二者之差0.01，但实际上二者差0.004。为了数据的准确性，eps向后加两位
例：给定一个浮点数，求这个浮点数的平方根，保留2位小数
import org.junit.Test;
public class FloatDichotomous {
@Test
public void test(){
double key = 100.00;
floatDichotomous(key);
}
public static void floatDichotomous(double key){
double left= 0,right = key;//根据题目取数，如果题目有范围，根据题目范围取数
while (right - left > 1e-4){
double mid = (left + right) / 2;
if(mid * mid >= key){
right = mid;
}else{
left = mid;
}
}
System.out.printf("%.2f\n", left);
}
}
例：在-10000~10000的范围内给定一浮点数，求该浮点数的三次方根，left和right范围取-22~22（22*22*22=10648）
二分查找
上述示例，我们可以考虑到在结束时
条件1：arr[mid] = key，此时是寻找数组中的某个数
条件2：arr[mid] < key < arr[mid+1]，left = mid+1，right = mid
返回left为寻找数组中大于key的第一个数，返回right为寻找数组中小于key的第一个数
条件3：arr[mid-1] < key < arr[mid]，left = mid ，right = mid-1
返回left为寻找数组中大于key的第一个数，返回right为寻找数组中小于key的第一个数
因此我们可以根据题目条件调整代码
条件4：统计key在数组中出现的次数
寻找第一个大于key元素的下标upper，第一个小于key的元素的下标lower
次数num = upper - lower
import org.junit.Test;
public class GetNumByDIchotomy {
@Test
public void test() {
int[] arr = new int[]{1,1,1,5,5,6,7,9,11};
System.out.println(getUpper(arr,1)-getLower(arr,1));
}
//查找第一个大于key的位置
public static int getUpper(int[] arr, int key) {
int l = 0, r = arr.length - 1;
int upper = 0;
while (l <= r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (arr[mid] > key) {
upper = mid;
r = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return upper;
}
//查找第一个大于或等于key的数的位置
public static int getLower(int[] arr, int key) {
int l = 0, r = arr.length - 1;
int lower = 0;
while (l <= r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (arr[mid] >= key) {
lower = mid;
r = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return lower;
}
}
