计数原理

1.计数原理
1.1 加法原理、乘法原理
1.2 排列与排列数
1.3 组合与组合数

PS：图标说明
⛲️：陈jian
👵：鑫quan
👩：张紫chao
💂：MBA大shi
😽：海mian
🙆：环qiu

加法原理、乘法原理

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一、考点讲解

分类计数原理（加法原理）
(1）定义
如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事。若第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法…第n类办法中有 $m_n$ 种不同的办法，那么完成这件事共用 $N=m_1+m_2+...+m_n$ 种不同的方法。
(2）理解
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
分步计数原理（乘法原理）
（1）定义
如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成。若完成第一个步骤有 $m_1$ 种不同的方法，完成第二个步骤有 $m_2$ 种不同的方法……完成第n个步骤有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有 $N= m_1*m_2*......*m_n$ 种不同的方法。
（2）理解
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
两个原理的区别及联系
（1）抓住两个基本原理的区别，不要用混，不同类的方法（其中每一种方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一种方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法。
（2）在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则。
如：从若干件产品中抽出几件产品来检验，把抽出的产品中至多有2件次品的抽法分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有一件次品，这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况。
又如：把能被2、被3或被6整除的数分为三类：第一类是能被⒉整除的数，第二类是能被3整除的数，第三类是能被6整除的数，其中第一类、第二类都和第三类有重复，这样的分类是不正确的。
（3）在运用乘法原理时要注意，每个步骤都做完，这件事也必须完成。

乘法原理注意事项
内容	加法原理	乘法原理
本质	每类独立完成任务	缺少任何一步，都无法完成
特征	分成几类就有几项相加	分成几步就有几项相乘
符号	加号	乘号
应用	出现不确定或者互相干扰时，要分类	出现需要若干过程或环节才能完成时，要分步
并存	当分类与分步同时出现，一定要先宏观分类，再微观分步