支持向量机推导之r||w||=1的限制转化

很多同学肯定是学过支持向量机的，也可能大致的理解了支持向量机这个算法，我想大部分人在学习这个算法的时候，对于推导过程有一步应该是不太理解。
我先简要介绍一下SVM,SVM的核心思想在于找到一个多维空间的超平面，可以最好的将我们的样本分隔开来。

超平面大家都知道，数学表达式如下：

那么最好的将我们的样本分隔开来怎么解释？
看下面一张图：
我们可以发现，有很多超平面，或者说线，都可以把我们的样本都正确的分隔开来，但如果从直观的效果靠，是不是红色的那一条是效果最好的，那么这一条怎么找到呢？

下面我们再看一个概念，样本到超平面的距离公式：

上式就是样本到超平面的距离公式，这就不推导了。
有了这个距离公式，再结合我们的常识，我们知道，当我们每次有了一个超平面，是不是可以求得每个样本到超平面的距离，那么研究者根据先验经验认为，每一个超平面求得之后呢，都会存在一个样本到超平面的最小距离，研究者们发现，如果这个最小距离越大，超平面的分类效果越好，于是得到了我们的SVM模型，即求解一个超平面，可以将样本都正确分类，且样本到超平面的最小距离最大。
由此，我们得到了支持向量机模型的数学推导：

注： 下面的$\gamma$是样本到超平面的最小距离

那么就到了本次博客内容真正的核心问题了，上面的数学表达是如何转化为下面的数学表达的：

很多同学肯定看过这样的解释：

但是其实这个解释，我认为对于很多人可能不是很能看得懂，从数学推导的角度上来说，这个推到是没有说服力的，下面我来给大家推到一下：

1. 先回到最开始的数学表达
   

2.然后，我们可以把上述问题转化为如下问题：

2.然后令$\gamma$/||w||=1，然后就转化好了

那么我们现在来探讨为什么令$\gamma$/||w||=1不影响结果，令$\gamma$/||w||=1其实是限制w的取值空间，也就是，现在我们取值的w满足使得$\gamma$/||w||=1。w的取值空间被限制了，不再是可以随机的取值了，所以我们需要从满足条件的w中寻找最优结果。但是，这个限制再上面优化公式里其实并没有体现出来，博主再看svm求解的过程中发现，如果使用拉格朗日乘子法求解上述最优化问题，上述不等式约束的等式会被满足，也就是求得的w和b一定会满足使得$\gamma$/||w||=1的情况。我觉得这是一个乌龙。只是因为我们的优化方法会自动地满足等式，也就是满足$\gamma$/||w||=1，但如果优化的方法求得的结果可能不满足等式，我认为上述优化公式是不足够的。

所以我觉得真实的优化问题应该是下面这个：

但是因为通过拉格朗日乘子法求解问题是，在忽略了下面约束等式的情况下，求得的结果却满足约束等式，也就是，没有其约束的情况求得的结果，那么其所搜索的w的集合是更大的，即包括了约束之后的w取值集合，这个时候它求解的结果却满足了等式，那么这结果一定是最优解。

我举个例子啊：
你现在在摘桃子，一共有一百个果园，要你摘出最好吃的桃子，但是这个最好吃的桃子必须是在某个特定的果园，比如10号果园，如果你摘出最好吃的果子不在十号果园，则失败，但是你事先不知道最好吃的果子必须来自十号果园。
结果，你现在把一百个果园的果子都尝了，且你发现最好吃的果子就在10号果园。圆满的完成了任务。

大概就是这个意思，本来只想让你在10号果园找最好吃的果子，结果你去了所有的果园，结果发现最好吃的果子就在十号果园。所以SVM模型其实我觉得是一个乌龙，也可能这个被人给证明过了。