系列文章目录

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前言
排序的概念及其运用
- 排序的概念
- 常见的排序算法
常见排序算法的实现
- 1.直接插入排序
- 2. 希尔排序（缩小增量排序）
- 3. 直接选择排序
- 4. 堆排序
- 5. 冒泡排序
- 6. 快速排序
- - 将区间按照基准值划分为左右两半部分的常见方式：
  - - 1. hoare版本
    - - 优化版本：三数取中法选key
      - 优化版本：递归到小的子区间时，可以考虑使用插入排序
    - 2. 挖坑版本
    - 3. 前后指针版本
    - 4. 快速排序非递归实现版本
  - 快速排序的特性总结：
- 7. 归并排序
- - 归并排序的几种实现方式
  - - 1. 递归法
    - 2. 非递归法
- 8. 计数排序
排序算法复杂度及稳定性分析
总结

前言

排序是一种非常重要的算法。

排序的概念及其运用

排序的概念

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。

外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

常见的排序算法

在这里插入图片描述

常见排序算法的实现

1.直接插入排序

基本思想：把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列。 =>打扑克牌
在这里插入图片描述

void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{//i = n - 1 时已经排完了
		int end = i;
		//指向有序队列的最后一位
		int tmp = a[end + 1];
		//要排入有序队列的数
		while (end >= 0)
		{
			if (tmp < a[end])
			{
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
		//放在结束位置的后一个位置，即要插入的位置
	}
	
}

插入排序在部分或已经有序的数列效率最高。
时间复杂度：
最坏：逆序——O(N²)
最好：顺序有序——O(N)

2. 希尔排序（缩小增量排序）

希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序法的基本思想是：先选定一个整数，把待排序文件中所有记录分成个组，所有距离为的记录分在同一组内，并对每一组内的记录进行排序。然后，取，重复上述分组和排序的工作。当到达=1时，所有记录在统一组内排好序。=>优化的插入排序

步骤
1. 多次预排序（分组排序）：对原数组进行间隔分组，再对分组进行插入排序，使得原数组变得相对更有序
2. 最有一次插入排序：当分组排序的间隔为1时

在这里插入图片描述

void ShellSort(int* a, int n)
{
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{	// gap > 1预排序
		// gap == 1 就是插入排序

		gap = gap / 3 + 1;
		//gap = gap / 2;
		
		for (int i = 0; i < n - gap; i++)
		{//i++gap组并排
		 //i = n - gap 时已经排完了
			int end = i;
			//指向分组有序部分的最后一位
			int tmp = a[end + gap];
			//指向分组中要排入有序分组的数
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp > a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
			//放在结束位置的后一个位置，即要插入的位置
		}
	}
}

1. gap越大，大的数可以更快到后面，小的可以更快到前面；越不接近有序。
2. gap越小，数据跳动越慢，越接近有序

时间复杂度：
分成gap组，每组N/gap个数据
每组最坏情况下挪动次数：1+2+3+…+N/gap-1 等差数列
最坏情况：（1+2+3+…+N/gap) * gap

最开始时gap很大 => 一趟排序：N
快结束时gap很小 => 一趟排序：N
排序次数：log₂N

时间复杂度：O(N^1.3)

3. 直接选择排序

基本思想：每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完。

在元素集合array[i]–array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素
若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换
在剩余的array[i]–array[n-2]（array[i+1]–array[n-1]）集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素

void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0;
	int end = n - 1;

	
	while (begin < end)
	{
		//每次遍历选出最小和最大的数
		int mini = begin;
		int max = begin;
		for (int i = begin + 1; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] < a[mini])
				mini = i;
			if (a[i] > a[max])
				max = i;
		}
		swap(&a[mini], &a[begin]);
		//如果max位置和mini位置重叠，需要修正一下max的位置
		if (max == begin)
			max = mini;
		swap(&a[max], &a[end]);
		//将最小和最大的数放到左右两边的位置
		begin++;
		end--;
	}
}

时间复杂度：O(N²)
空间复杂度：O(1)

与直接插入排序比较，插入排序适应性更强，对于有序、局部有序，都能效率提升。
而选择排序在任何情况都是O(N²)。

4. 堆排序

基本思想：堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。
在这里插入图片描述

void AdjustDown(int* a, int parent, int size)
{//升序建大堆，降序建小堆
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
		//确认child指向大的哪个孩子
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{//孩子大于父亲，交换，继续向下调整，建大堆
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{//孩子小于父亲
			break;
		}
	}
}

// O(N * logN)
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//向上调整堆 -- O(N*logN)
	//降序
	/*for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}*/

	//向下调整堆 -- O(N)
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, i, n);
	}
	int end = n - 1;
	while (end)
	{
		//升序 -- O(N * logN)
		swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, 0, end);
		end--;
	}
}

void swap(int* a, int * b)
{
	int temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

时间复杂度：O(N*logN)

5. 冒泡排序

基本思想：所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，交换排
序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{//冒泡 n - 1 次
		int exchange = 0;
		for (int j = 0; j < n - i - 1; j++)
		{//每次都是n - i - 1上的位置确定
			if (a[j] > a[j + 1])
				swap(&a[j], &a[j + 1]);
				exchange = 1;
		}

		if (exchange == 0)
		{//没有交换就说明有序了
			break;
		}
	}
}

冒泡排序在已经有序的数列效率最高。
时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(1)

6. 快速排序

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中
的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右
子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

将区间按照基准值划分为左右两半部分的常见方式：

1. hoare版本

在这里插入图片描述
key:最左边的值或最右边的值
单趟排序：左边比key要小，右边比key要大

1. 分割出左右区间，左区间比key小，右区间比key大
2. key已经落到他的正确的位置，排序后的最终位置
剩下的问题：
3. 左区间有序，右区间有序，那么整体就有序了

左边做key，右边先走，右边做key，左边先走；
左边做key，右边先走，保证相遇位置比key小；
右边做key，左边先走，保证相遇位置比key大；

相遇的位置：
如果左边做key，右边先走
一种是R停住的，L遇到R，相遇位置就是R停住的位置；
一种是L停住的，R遇到L，相遇位置就是L停住的位置；
这两种位置都比key要小

int PartSort1(int* a, int begin, int end)
{//hoare法

	int mid = GetMidIndex(a, begin, end);
	swap(a + begin, a + mid);

	int left = begin;
	int right = end;
	int keyi = left;

	while (left < right)
	{
		while (left < right && a[right] >= a[keyi])right--;
		//右边先走，找小
		while (left < right && a[left] <= a[keyi])left++;
		//左边再走，找大
		swap(a + left, a + right);
	}
	swap(a + keyi, a + left);
	keyi = left;
	
	return keyi;
	
}

void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end) return;
	int keyi = PartSort1(a, begin, end);
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);
	
}

在这里插入图片描述
平均时间复杂度：O(N*log₂N)

在这里插入图片描述
最坏时间复杂度：O(N²)

优化版本：三数取中法选key

//三数取中
//begin mid end
int GetMidIndex(int* a, int begin, int end)
{
	int mid = (begin + end) / 2;
	if (a[begin] > a[end])
	{
		if (a[mid] > a[begin])
			return a[begin];
		else if (a[mid] > a[end])
			return a[mid];
		else
			return a[end];
	}
	else
	{//a[begin] <= a[end]
		if (a[mid] > a[end])
			return a[end];
		else if (a[mid] > a[begin])
			return a[mid];
		else
			return a[begin];
	}

}


void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end) return;
	

	int left = begin;
	int right = end;
	int keyi = left;

	int mid = GetMidIndex(a, begin, end);
	swap(a + keyi, a + mid);
	

	while (left < right)
	{
		while (left < right && a[right] >= a[keyi])right--;
		//右边先走，找小
		while (left < right && a[left] <= a[keyi])left++;
		//左边再走，找大
		swap(a+left, a+right);
	}
	swap(a + keyi, a + left);
	keyi = left;
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);
	
}

三数取中将最坏时间复杂度降为：O(N*log₂N)

优化版本：递归到小的子区间时，可以考虑使用插入排序

小区间优化：快排分割到小区间时，用直接插入排序，节省大部分递归

void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end) return;
	
	if (end - begin + 1 < 10)
	{
		// 小区间用直接插入代替，减少递归调用次数
		InsertSort(a+begin, end - begin + 1);
	}
	else
	{
		int left = begin;
		int right = end;
		int keyi = left;


		int mid = GetMidIndex(a, begin, end);
		swap(a + keyi, a + mid);


		while (left < right)
		{
			while (left < right && a[right] >= a[keyi])right--;
			//右边先走，找小
			while (left < right && a[left] <= a[keyi])left++;
			//左边再走，找大
			swap(a + left, a + right);
		}
		swap(a + keyi, a + left);
		keyi = left;
		QuickSort(a, begin, keyi - 1);
		QuickSort(a, keyi + 1, end);
	}
	
	
}

2. 挖坑版本

在这里插入图片描述

int PartSort2(int* a, int begin, int end)
{	//挖坑法
	//左挖坑，右填坑，右挖坑，左填坑。

	int mid = GetMidIndex(a, begin, end);
	swap(a + begin, a + mid);

	int left = begin;
	int right = end;
	int key = a[left];
	int hole = left;

	while (left < right)
	{
		while (left < right && a[right] >= key)right--;
		//右边找到一个坑位，要挖坑和填坑
		a[hole] = a[right];
		hole = right;
		while (left < right && a[left] <= key)left++;
		//找到一个坑位，要挖坑和填坑
		a[right] = a[left];
		hole = left;
	}
	a[hole] = key;
	return hole;
	
}

1. 右边找到一个坑位，要填左边的坑，再挖该坑位。
2. 左边找到一个坑位，要填右边的坑，再挖该坑位。

3. 前后指针版本

在这里插入图片描述

int PartSort3(int* a, int begin, int end)
{//把大的推到右边去，把小的推到左边去
	int mid = GetMidIndex(a, begin, end);
	swap(a + begin, a + mid);

	int cur = begin + 1;
	int prev = begin;
	int keyi = begin;
	/*for (; cur < end + 1; cur++)
	{
		if (a[cur] > a[keyi])
		{
			prev++;
			swap(a + prev, a + cur);
		}
	}*/
	while (cur <= end)
	{
		if (a[cur] > a[keyi] && ++prev != cur)
		{
			swap(&a[++prev], &a[cur]);
		}
		cur++;
		
	}
	swap(a + prev, a + keyi);
	return prev;
}

1. cur找key小，找到后停下来。
2. ++prev,交换prev位置和cur位置。

4. 快速排序非递归实现版本

在这里插入图片描述
进栈顺序图

void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{
	ST st;
	StackInit(&st);
	StackPush(&st, begin);
	StackPush(&st, end);
	while (!StackEmpty(&st))
	{
		int right = StackTop(&st);
		StackPop(&st);
		int left = StackTop(&st);
		StackPop(&st);

		int keyi = PartSort1(a, left, right);

		if (keyi + 1 < right)
		{
			StackPush(&st, keyi + 1);
			StackPush(&st, right);
		}
		
		if (left < keyi - 1)
		{
			StackPush(&st, left);
			StackPush(&st, keyi - 1);
		}
		
	}
}

快速排序的特性总结：

时间复杂度：O(N*logN)
空间复杂度：O(logN)
大量的重复数据，那么key就是这个重复的数时，就会导致时间复杂度上升为O(N²)。
在这里插入图片描述
可以用三路划分来解决重复数。

1.a[c] < key 交换a[l]和a[c]的位置，l++，c++ => 比key小的数甩到左边
2.a[c] == key c++=> 跟key相等的值，往后推，跟key相等的就会在中间
3.a[c] > key 交换c和r的位置，r–=>比key大的甩到右边
结束条件：c > r 结束

7. 归并排序

基本思想：归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide andConquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并排序核心步骤：

归并排序的几种实现方式

1. 递归法

在这里插入图片描述

void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{
	if (begin >= end) return;
	int mid = (begin + end) / 2;
	_MergeSort(a, begin, mid, tmp);
	_MergeSort(a, mid + 1, end, tmp);

	//归并
	int begin1 = begin, end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = end;
	int i = begin;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] > a[begin2])
		{
			tmp[i++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[i++] = a[begin2++];
		}
	}

	while (begin1 <= end1)tmp[i++] = a[begin1++];
	while (begin2 <= end2)tmp[i++] = a[begin2++];

	memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));



}

void MergeSort(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);

	free(tmp);
	tmp = NULL;

}

两端有序区间，依次得比较小的元素，尾插进新的数组序列
时间复杂度：O(N*logN)
空间复杂度：O(logN)

2. 非递归法

void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	//归并每组数据个数，从1开始，因为1个认为是有序的，可以直接归并
	int rangeN = 1;

	while (rangeN < n)
	{
		for (int i = 0; i < n; i += 2 * rangeN)
		{
			//归并
			int begin1 = i, end1 = i + rangeN - 1;
			int begin2 = i + rangeN, end2 = i + 2 * rangeN - 1;
			
			if (end1 >= n)
			{//end1 begin2 end2 越界
				//修正区间 ->拷贝数据 
				end1 = n - 1;
				//不存在区间
				begin2 = n;

				end2 = n - 1;
			}
			else if (begin2 >= n)
			{//begin2 end2 越界
				begin2 = n;

				end2 = n - 1;
			}
			else if (end2 >= n)
			{//end2 越界
				end2 = n - 1;
			}
			
			
			int j = i;
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] > a[begin2])
				{
					tmp[j++] = a[begin1++];
				}
				else
				{
					tmp[j++] = a[begin2++];
				}
			}

			while (begin1 <= end1)tmp[j++] = a[begin1++];
			while (begin2 <= end2)tmp[j++] = a[begin2++];
			
		}
		//整体归并完再拷贝
		memcpy(a, tmp, sizeof(int)* (n));
		rangeN *= 2;
	}
	
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

8. 计数排序

思想：计数排序又称为鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用。操作步骤：
1. 统计相同元素出现次数
2. 根据统计的结果将序列回收到原来的序列中
在这里插入图片描述

void CountSort(int* a, int n)
{//计数排序
	int max = a[0], min = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > max) max = a[i];
		if (a[i] < min) min = a[i];
	}
	int range = max - min + 1;
	int* countA = (int*)calloc(range,sizeof(int));
	if (countA == NULL)
	{
		printf("calloc fail");
		exit(-1);
	}
	//1. 统计次数
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		countA[a[i] - min]++;
	}
	//2. 排序
	int k = 0;
	for (int j = 0; j < range; j++)
	{
		while (countA[j]--)
			a[k++] = j + min;
	}

	free(countA);
}