前言

定积分的计算依赖于不定积分的计算，其基本方法是利用牛顿莱布尼茨公式，即算出f(x)的原函数F(x)之后，在区间[a，b]的端点上作差即可。
但是，一个函数在区间[a,b]上可积与在区间[a，b]上存在原函数是两个截然不同的概念。
有些函数f(x)再区间[a，b]可积，但是却不存在原函数。
有些函数f(x)再区间[a，b]上存在原函数F(x)，但是却不可积。
所以，利用N-L公式计算积分的前提是—函数f(x)在区间[a,b]上不仅存在原函数，而且还可积。
显然，对于那些可积却又不存在原函数的函数f(x)，在求其定积分时，无法使用N-L公式。并且即便一个函数f(x)既存在原函数，也可积，但是其原函数很有可能不是初等函数。

基于以上种种原因，我们同时也需要找到一些其他的方法来计算定积分的值。
常用的技巧有如下几个：
利用定积分的几何意义
利用奇偶性化简计算
利用周期性平移和缩小积分区间
利用区间再现公式简化计算
利用Wallis公式
利用一个常见的积分公式
这次我们主要利用牛顿-莱布尼茨公式，利用定积分的几何意义，利用周期性平移和缩小积分区间，利用wallis公式来学习定积分的计算。🤗🤗
最主要的定积分的计算当然还是牛顿-莱布尼茨公式啦，所以在本篇的最后，配有一些简单的练习题，不妨简单做一下练练手吧！🥳🥳

定积分的常规计算技巧—牛顿-莱布尼茨公式

例题1
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例题2

思想

首先，我们先根据这个思想解一道题目，再返回去看看例题2。
引例

注
在本题中，换元之后，最好不要将dx解出来，而应该直接分部。否则被积函数次数太高不好做！
好接下来,我们接着看上面的例题2。
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这道题目包含很多平时处理的技巧很不错👻
例题3

这道题目和上一题有一些类似，但好像更加吓人，因为它是根号里面又有个根号。
这时候要怎么处理呢？首先，我们所谓的步骤都是为了我们最终的目的而服务的。我们希望我们的式子中不会出现根号，所以这么想，我们直接就令外面这个大根号为t，那么被积函数会成为arcrant就看起来好很多了。
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这一题，需要注意的是同上一题一样，反解出来x之后，放在d后面，千万不要进行求导了，这样会把题目放复杂很多的。

以上几道题，本质上其实就是不定积分的计算，只是多了最后一步“代入上下限”而已。
例题4
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先来看错误的解法，你有没有进坑呢？

但是显而易见被积函数在其被积区间恒大于0,那么其积分就一定大于0，所以上面的解法就一定是错的。
由定理：

若有原函数，原函数求导得到f，那么原函数F一定连续。
而反过来看上面那道题，得到了原函数，但F在 $\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{2}$ 均没有定义，不连续。(实际上在第一个等号处就很不严谨了，同时除以 $cos^2x$ ，而在区间[0, $2\pi$ ]上cosx有为0的点)
而在积分区间内部出现无定义点，是不能使用牛顿莱布尼茨公式的。
那如何解决这个问题呢?将积分区间从无定义点处拆开，拆分成若干个小积分之和。对于每一个小积分而言，无定义点都是积分区间的端点，而不在积分区间的内部。
此时，对每个小积分使用推广的牛顿莱布尼兹公式，即可正确算出积分值。
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但是，这样做同样的计算写了好几遍有些繁琐。
所以，我们可以利用周期性和对称性，提前将无定义点从积分区间内部移出。