改变控制参数积分项对输出结果的影响

可靠的控制系统应该有能力实时变更系统的参数

The Beginner’s PID acts a little crazy if you try to change the tunings while it’s running. Let’s see why. Here is the state of the beginner’s PID before and after the parameter change above:

如果你在系统稳定运行时尝试更改调节参数，可能会导致输出结果有较大的变化，如下所示：

这主要是因为积分项导致的，当参数改变时，积分项的变化是最大的，这是唯一发生剧烈变化的东西。因为系统稳定时，误差是非常小的，同理误差的微分也是非常小的，但是累计误差只会增加，所以变更PID的调节参数，积分项的影响是最大的。

$K_{i}*\int e(t)d_{t} =K_{i}*(e(0)+e(1)+e(2)+...+e(t))$

从公式中可以看出，突然改变Ki的值，积分项的变化是最大的。

解决方案

要想消除积分系数改变对输出结果的影响，就得保证需改参数前后，积分项也就是累计误差和的大小变化不大，怎么搞？学过微积分的同学，应该都清楚下面的等式变换。

$K_{i}*\int e(t)d_{t} =\int K_{i}*e(t)d_{t} =K_{i0}*e(0)+K_{i1}*e(1)+...+K_{it}*e(t)$

将积分系数 $K_{i}$ 放在积分的里面，积分项的结果还是不变的，在某个时刻改变 $K_{it}$ 的大小，受影响的只有 $K_{it}*e(t)$ 这一项，整个误差的积分结果影响就不大了，这样积分项就不会有大的突变，完美解决问题。

在代码上的实现

/*working variables*/
unsigned long lastTime;
double Input, Output, Setpoint;
double ITerm, lastInput;
double kp, ki, kd;
int SampleTime = 1000; //1 sec
void Compute()
{
   unsigned long now = millis();
   int timeChange = (now - lastTime);
   if(timeChange>=SampleTime)
   {
      /*Compute all the working error variables*/
      double error = Setpoint - Input;
      ITerm += (ki * error);//将每次的误差都与积分系数相乘，再去累加
      double dInput = (Input - lastInput);

      /*Compute PID Output*/
      Output = kp * error + ITerm - kd * dInput;

      /*Remember some variables for next time*/
      lastInput = Input;
      lastTime = now;
   }
}

void SetTunings(double Kp, double Ki, double Kd)
{
  double SampleTimeInSec = ((double)SampleTime)/1000;
   kp = Kp;
   ki = Ki * SampleTimeInSec;
   kd = Kd / SampleTimeInSec;
}

void SetSampleTime(int NewSampleTime)
{
   if (NewSampleTime > 0)
   {
      double ratio  = (double)NewSampleTime
                      / (double)SampleTime;
      ki *= ratio;
      kd /= ratio;
      SampleTime = (unsigned long)NewSampleTime;
   }
}

So we replaced the errSum variable with a composite ITerm variable [Line 4]. It sums Ki*error, rather than just error [Line 15]. Also, because Ki is now buried in ITerm, it’s removed from the main PID calculation [Line 19].

用变量ITerm【第4行】替换了errSum变量。用它来表示Ki * error，而不仅仅是误差【第15行】。