整数拆分
题目链接：力扣
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。 - 确定递推公式
然后有两种渠道得到dp[i]：
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)
为什么j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。
那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。
递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
由于在遍历j的过程中，每次都要计算新的dp[i]，所以为了取最大值，还要将dp[i]放入max函数中。
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j}); - dp的初始化
初始化dp[2] = 1，dp[0] 和 dp[1] 没有必要进行初始化，无实际意义 - 确定遍历顺序
由于 dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
由于拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。 - 举例推导dp数组
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int>dp(n+1);
dp[2]=1;
for(int i=3; i<=n;i++)
for(int j=1; j<= i/2;j++)
{
dp[i] = max(max(j*dp[i-j], j*(i-j)),dp[i]);
}
return dp[n];
}
};代码虽然看上去 很简短，但是想要自己想出来，还是很难！
不同的二叉搜索树
题目链接：力扣
这题有点抽象，下面进行举例：
n为3的时候，
发现，当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，
这两个节点的布局，和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的！
（我们求不同树的数量，并不用把搜索树都列出来，所以不用关心其具体数值的差异）。
所以dp[3]，就是
元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] - 确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j 相当于是头结点的元素，从1遍历到 i 为止。
故 递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
其中 j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量 - dp数组初始化
空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树
dp[0]=1； 其他情况均可由该种情况推导得出。
注意dp[0]不能设为0， 否则乘法的结果就都变成0了。 - 确定遍历顺序
由递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。 - 举例推导dp数组
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n+1,0);
dp[0] = 1;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
{
dp[i] += dp[i-j]*dp[j-1];
cout <<dp[i] << endl;
}
return dp[n];
}
};
