《离散数学》：集合、关系和函数

〇、前言

这章将会对集合、以及集合之上的关系、以及两个集合之间的映射情况做一个细致的讨论。集合作为数学和其他领域中的基础概念，具有广泛的应用和重要的地位。它为数学建立了基本的体系和推理方法，为各个领域的研究和应用提供了一种统一的描述和分析工具。

一、集合

集合是一种很简单的概念，集合的描述方法有多种，比如列举法、描述法。集合只是一个对象，和集合的包含或者相等都是在集合上的一些关系。
另外集合还可以参与到运算之中，比如交集、并集、补集、以及对称差等。人们发现集合进行运算时，会遵循一定的规律，进行抽象后，就能得到集合运算律，比如：幂等律、交换律、吸收律等等。如果继续进行抽象，比如对称差运算，它其实是一个群（Group），后续会继续讨论。

接着就会讨论到集合的划分和覆盖。

集合的划分就是对元素进行分类（不一定有共同特征，满足划分概念就行），当然分类的时候，元素 a 自然不能同时出现在不同的类中。事实上，每一类都是后面要讨论到的一个恒等关系。集合的覆盖就是集合 S 所有的分类的并集就是集合 S 本身。

集合的元素的计数中，如果两个元素相同，那么可以认为这两个元素是同一元素，计数的时候只需要计数一次。

对于无限集合，情况就比较复杂了，这其实涉及到了无穷的分类：

可数无穷（Countable Infinity）：一个集合被称为可数无穷，如果它的势与自然数集（1, 2, 3, …）的势相同。换句话说，可数无穷集合的元素可以用自然数进行一一对应。例如，自然数集、整数集和有理数集都是可数无穷集合。
不可数无穷（Uncountable Infinity）：一个集合被称为不可数无穷，如果它的势大于自然数集的势。不可数无穷集合的元素无法用自然数进行一一对应。最著名的不可数无穷集合是实数集和实数轴上的点的集合。

比如，偶数构成的集合和自然数构成的集合甚至于整数、有理数构成的集合，元素个数都是一样多的，这点比较违反常识。但实际上，如果进行一一对应这种操作，就会发现它们是一一映射的，映射规则可以随便设置，只要合理就好。

然后就是幂集了，幂集就是集合 A 的全体子集构成的集合，也就是说，幂集的每个元素都是 A 的子集。

二、二元关系和函数

二元关系是指一个集合中的元素之间的某种关联关系或联系。它可以是在同一个集合中的元素之间的关系，也可以是在不同集合中的元素之间的关系。

具体来说，一个二元关系可以表示为一个有序对的集合。假设我们有一个集合A，其中的元素可以用a、b、c等符号表示。那么，二元关系R可以表示为一个由有序对(a, b)组成的集合，其中a是集合A中的元素，b是集合A中的元素，且(a, b)满足某种关联条件或关系。

（一）序偶与笛卡尔积

二元关系中，为了描述两个元素的关系，引入了序偶的概念。序偶中的第一个元素与第二个元素有着某种关系，很明显通常情况下这种关系是不可交换的。有了序偶以后，就可以用特定的方法生成好多的序偶，自然而言的就引入了笛卡尔积的概念。笛卡尔积可以简单的理解为一个集合 A 与另一个集合 B 之间的关系。

定义：设A和B为两个集合，它们的笛卡尔积记作A × B，表示由所有形如(a, b)的有序对组成，其中a ∈ A，b ∈ B。

元素个数：如果集合A的元素个数为n，集合B的元素个数为m，那么它们的笛卡尔积A × B的元素个数为n × m。换句话说，笛卡尔积的元素个数等于两个集合的元素个数的乘积。
交换律：笛卡尔积不满足交换律，即A × B 不等于 B × A。
结合律：对于三个集合A、B和C，它们的笛卡尔积满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。换句话说，无论怎样对多个集合进行笛卡尔积运算，最终的结果是相同的。
空集：如果一个集合的笛卡尔积与空集进行运算，结果仍然是空集。即，A × ∅ = ∅。
单位元：如果一个集合与单元素集合{()}进行笛卡尔积运算，结果等于原集合本身。即，A × {()} = A。
笛卡尔积对交集和并集满足分配率

由于笛卡尔积不满足封闭性，我们无法进一步讨论它的其它性质，但是在后面的关系的符合中就可以讨论了！

（二）关系及其表示

一个集合中假设有 m 个元素，那么它能形成的子集一共有 2^m个，其中包含空集。
同样，笛卡尔积中有m*n个元素，每一个元素都是一个序偶。那么这些序偶形成的每一个子集都是一个关系。其中空集就是空关系。那么一共能形成 2^m*n个关系。

在这些关系中，有两个个关系比较特殊，分别是空关系、全域关系。另外，如果关系是在 A 自己上的，那么还有一个恒等关系。这就是三个特殊的关系！

对于关系的表示，有 4 个常见的方法：

枚举法
谓词公式法，就是集合的描述法
关系图法
矩阵法：这种表示法非常优秀，它能直观的看到各种关系，也能存储到计算机中后，用各种算法进行操作

（三）关系的性质

以下所有的讨论，都是集合 A 上自己对自己的关系。关系可以进行分类：

自反关系
反自反关系
对称关系
反对称关系
传递关系

1、自反关系

简言之，就是所有的元素 a 对 a 也有关系。

关系图的特点：每个节点都是自回路
关系矩阵的特点：对角线的元素都是 1

2、反自反关系

简言之，就是没有一个元素 a 对 a 有关系。

关系图的特点：没有自回路
关系矩阵的特点：对角线的元素都是 0

3、对称关系

简言之，就是如果存在<a,b>那么一定有<b,a>。

关系图的特点：如果两个节点之间有边，那么一定有两条边
关系矩阵的特点：A与 A的转置矩阵相等

4、反对称关系

简言之，如果存在<a,b>那么一定不能有<b,a>。

关系图的特点：如果两个节点有边，只有一条边
关系矩阵的特点：矩阵 A 和 A 的转置进行逻辑与之后，除了主对角线，其他元素全部为 0。

5、传递关系

简言之，如果存在<a,b>,<d,e>，那么一定存在<b,d>。

关系图的特点，任意两个结点如果有边，那么一定存在一个长度为 1 的边。
矩阵关系的特点：这个比较复杂，需要用一些算法进行检测，肉眼看不出来。

以上就是关系的一些性质。需要注意的是：

一个关系既可以是非自反的，也可以是非反自反的，它们不是二元对立的。
一个关系既可以是自反的，也可以是反自反的，什么关系呢？是空关系。这可以在数学上证明，不再赘述。
一个关系既可以是对称的、也可以是反对称的，比如恒等关系
一个关系既可以是非对称的，也可以是非凡对称的，比如{<1,2>,<2,5>,<5,2>}。

（四）关系的复合

这一主题可以说是关系研究中的核心了。
符合关系的就是两种关系进行运算，比如：{<1,3>}o{<3,5>}={<1,5>}，这个运算结果可以透露出两个关系的某些关联。

人们发现，两个关系 A与 B进行复合运算后，与矩阵逻辑乘（里面的加法也是逻辑加） AxB的运算结果一致。

究其原因，是因为在找符合关系时，在关系矩阵A中如果有<a,b>、在关系矩阵 B 中有<b,c>，这意味着 矩阵 A 的 a 行 b列，与矩阵 B 的 b 行 c 列都是 1，那么它们相乘后，a行 c 列就是 1，这正是两个关系复合的意义所在！因此矩阵运算就成为了关系运算的底层抽象。

因此这极大得简化了符合关系的求解，如虎添翼。

（五）逆关系

简言之，求一个关系的逆关系，就是将所有的元素（序偶）的第一元素和第二元素互换位置。

在关系矩阵A中，就是对A进行转置，就得到了关系A的一个逆关系。

在求逆的过程中，就是在求转置，因此这里求逆的操作和矩阵求转置的算法一模一样，注意不是求逆，求转置。

（六）关系闭包运算

什么叫做闭包？关系闭包（Closure of a Relation）是关系理论中的一个概念，它表示通过迭代操作扩展原始关系，使其具有某些附加性质。关系闭包的目的是将原始关系扩展为满足特定性质的最小闭包。说白了就是对集合的一种最小拓展！

给定一个关系R，它可以是一个二元关系或更高阶的关系。关系闭包操作可以应用于以下几种类型的关系：

传递闭包（Transitive Closure）：传递闭包是通过迭代操作扩展关系R，使其具有传递性。即，将R中的有序对(a, b)和(b, c)扩展为(a, c)，以确保关系中的元素在传递性方面闭合。
自反闭包（Reflexive Closure）：自反闭包是通过迭代操作扩展关系R，使其具有自反性。即，在R中添加缺失的自反对(a, a)，以确保关系中的元素在自反性方面闭合。
对称闭包（Symmetric Closure）：对称闭包是通过迭代操作扩展关系R，使其具有对称性。即，对于R中的每个有序对(a, b)，添加对应的有序对(b, a)，以确保关系中的元素在对称性方面闭合。

关系闭包的求解可以通过不同的算法和方法来实现，例如华尔沙算法（Warshall Algorithm）用于计算传递闭包。

求解自反闭包、对称闭包的算法都很简单，直接逻辑加一个单位矩阵、转置矩阵就可以得到。而传递闭包则可以使用Warshall 算法来完成。

那么怎么判断一个关系是不是传递闭包呢？有两种思路：

再来一次Warshall算法运算，如果结果和原来相同，那么就是传递闭包；
由于传递闭包是由每个矩阵的幂并集运算得到的，因此只要它的幂运算都属于 A，即可。

（七）等价关系和等价类

等价关系：如果一个关系是自反的、对称的、传递的，那么R 就是一个等价关系。

在集合论和关系理论中，等价类是一种划分（partition）的概念，用于将集合中的元素划分为具有相同性质或关系的子集。等价类是一种等价关系的重要概念。换句话说，等价类是具有相同关系特征的元素的集合。

具体来说，对于等价关系R，等价类的定义如下：

对于集合A中的任意元素a，[a] 表示由与 a 等价的所有元素组成的子集。

等价类的性质：等价类具有以下性质：

a. 反身性：对于任意元素a ∈ A，a ∈ [a]，即一个元素属于它自身的等价类。
b. 相容性：对于任意元素a, b ∈ A，如果a 和 b 是等价的（即(a, b) ∈ R），则[a] = [b]，即具有相同等价类的元素之间是相等的。
c. 互斥性：对于任意元素a, b ∈ A，如果a 和 b 不等价（即(a, b) ∉ R），则[a] ∩ [b] = ∅，即不同等价类的元素之间没有交集。
划分性质：等价类将集合A划分为多个不相交的子集，即每个元素属于且仅属于一个等价类。集合A是等价类的并集，即 A = [a₁] ∪ [a₂] ∪ … ∪ [aₙ]，其中 a₁, a₂, …, aₙ 是 A 中的不同等价类的代表元素。

商集 A/R 就是集合 A 在关系 R 上的一个划分。这里用一个例子详细说明。

考虑到集合 T={1,2,3,4}和 T上的一个关系 R={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}。很明显 R 是一个等价关系，另外有两个等价类：

[1]R=[4]R={1,4}
[2]R=[3]R={2,3}

集合 A关于 R的商集A/R ={{1,4},{2,3}}。

很明显的两个定理：

集合 A上的等价关系 R决定了 A 上的一种划分，该划分就是商集 A/R；
集合 A 的一个划分确定 A 的元素间的一个等价关系。

换句话说，划分和等价关系是一一映射的，这就自然地引出了下一个定理： 设R 和 P 是非空集合 A 上的等价关系，如果 R=P，当且仅当 A/R=A/P。

（八）相容关系

相容关系比上面的等价关系更弱，它只要求关系 R 具有自反性、对称性。

（九）偏序关系

如果要考虑关系的次序，那么就得研究偏序关系。如果 R 是自反、反对称的和传递的，那么 R 就是一个偏序关系。

偏序关系中的任何一个元素，都能找到一个可比较的元素。于是就定义了全序关系和链以及反链。假设<A,<<>是一个偏序集：

链：如果集合A的一个子集S中任意两个元素都是可以比较的，那么S 就是一个链；
反链：如果集合A的一个子集S中任意两个元素都是不可以比较的，那么S 就是一个反链；
如果 A 自身构成一个链，则<<就是全序关系，且称<A,<<>是一个全序集。

究竟怎么理解“可比较”？我的理解是，如果两个元素可比较的，那么它们就是线性的，不是平行的。如果是不可比较的，那么它们就是平级的。

为了使得这种关系阐述起来更直观，书中介绍了“盖住”的概念，简单的说就是 a 如果有一个顶头上司 b，那么 b 就盖住了 a。

对于一个偏序集，它的盖住关系是唯一的，所以可以用盖住的性质画出偏序集合图，或者哈斯图。

比如这个哈斯图中，{4,6,15,10}、{2,3,5}就是反链，里面的元素都是不可比较的；{1,3,9}、{1,2,4}就是两个链。
在这里插入图片描述

1、极大元、极小元

换句话说，就是有一个集合 B 是集合 A 的子集，其中 A 构成一个偏序关系<A，<< >：

如果 B 中没有一个元素能盖住 b，那么 b 就是极大元；
如果B 中的元素 b，没有可以覆盖的元素，那么 b 就是极小元。

在上图中，对于集合{2,3,5}，极大元就是{2,3,5}、极小元也是{2,3,5}；对于集合{ 1,3,5,9}，极大元就是{5,9}，极小元就是{1}。

2、最大元、最小元

如果 B 中所有的元素都是可以比较的，那么如果有一个最大元素 b，那么 b 就是极大元；
如果 B 中所有的元素都是可以比较的，那么如果有一个最小元素 b，那么 b 就是极小元。

3、上界、下界

对于 B 中任何一个元素 b，都有 x >> b，那么 x 就是一个上界；
对于 B 中任何一个元素 b，都有 x << b，那么 x 就是一个下届；

4、最小上界、最大下界

最小上界、最大下界一定是上界、下界中的某个元素，它满足与B 中所有的元素可比较。

5、良序集

A的任何一个子集，都有最小元，则称为 A 为良序集。

整数不是良序集，这是因为良序集要求集合中的每个非空子集都有最小元素，而整数集合中的某些非空子集没有最小元素。比如：在整数集合中，一个非空子集可能没有最小元素的典型例子是负整数的集合。例如，考虑负整数的集合S = {..., -3, -2, -1}，它是整数集合的一个子集。这个子集是非空的，但是没有最小元素，因为对于任何负整数n，总是存在一个更小的负整数n-1。但是自然数集合就是一个良序集。

任何一个良序集合，一定是全序集，因为良序集的所有元素都是可以比较的（如果a,b不可比较，那么他们就没有最小元，这与定义矛盾），这就形成了一个链，因此是全序集。

任何一个有限的全序集，一定是良序集，因为全序集是一个链，因此这个链的长度有限时，这个链的任何一段，一定也是有限的，因此一定有一个链尾，就是最小元。