40 组合总和II

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40 组合总和II
- 题目
- 官方解法：回溯
- - 思路与算法
- code
- Reference

题目

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

**注意：**解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

提示:

1 <= candidates.length <= 100
1 <= candidates[i] <= 50
1 <= target <= 30

官方解法：回溯

思路与算法

由于我们需要求出所有和为 target的组合，并且每个数只能使用一次，因此我们可以使用递归 + 回溯的方法来解决这个问题：

我们用 dfs(pos,rest) 表示递归的函数，其中 pos表示我们当前递归到了数组 candidates中的第 pos\textit{pos}pos 个数，而 rest表示我们还需要选择和为 rest 的数放入列表作为一个组合；
对于当前的第 pos个数，我们有两种方法：选或者不选。如果我们选了这个数，那么我们调用 dfs(pos+1,rest−candidates[pos]) 进行递归，注意这里必须满足 rest≥candidates[pos]。如果我们不选这个数，那么我们调用 dfs(pos+1,rest)进行递归；
在某次递归开始前，如果 rest 的值为 0，说明我们找到了一个和为 target的组合，将其放入答案中。每次调用递归函数前，如果我们选了那个数，就需要将其放入列表的末尾，该列表中存储了我们选的所有数。在回溯时，如果我们选了那个数，就要将其从列表的末尾删除。

上述算法就是一个标准的递归 + 回溯算法，但是它并不适用于本题。这是因为题目描述中规定了解集不能包含重复的组合，而上述的算法中并没有去除重复的组合。

例如当 candidates=[2,2]，target=2 时，上述算法会将列表 [2][2][2] 放入答案两次。

因此，我们需要改进上述算法，在求出组合的过程中就进行去重的操作。我们可以考虑将相同的数放在一起进行处理，也就是说，如果数 x 出现了 y 次，那么在递归时一次性地处理它们，即分别调用选择 0,1,⋯ ,y次 x的递归函数。这样我们就不会得到重复的组合。具体地：

我们使用一个哈希映射（HashMap）统计数组 candidates 中每个数出现的次数。在统计完成之后，我们将结果放入一个列表 freq中，方便后续的递归使用。
- 列表 freq 的长度即为数组 candidates 中不同数的个数。其中的每一项对应着哈希映射中的一个键值对，即某个数以及它出现的次数。
在递归时，对于当前的第 pos 个数，它的值为 freq[pos][0]，出现的次数为 freq[pos][1]，那么我们可以调用

dfs(pos+1,rest−i×freq[pos][0])
即我们选择了这个数 iii 次。这里 iii 不能大于这个数出现的次数，并且i×freq[pos][0]也不能大于 rest\textit{rest}rest。同时，我们需要将 i个 freq[pos][0]放入列表中。

这样一来，我们就可以不重复地枚举所有的组合了。

我们还可以进行什么优化（剪枝）呢？一种比较常用的优化方法是，我们将 freq根据数从小到大排序，这样我们在递归时会先选择小的数，再选择大的数。这样做的好处是，当我们递归到 dfs(pos,rest) 时，如果freq[pos][0]已经大于 rest，那么后面还没有递归到的数也都大于 rest，这就说明不可能再选择若干个和为 rest的数放入列表了。此时，我们就可以直接回溯。

code

class Solution {
private:
    vector<pair<int,int>> freq;
    vector<int> sequence;
    vector<vector<int>> ret;
public:

    void dfs(int pos, int rest) {
        if(rest == 0) {
            ret.emplace_back(sequence);
            return;
        }

        if(pos == freq.size() || rest < freq[pos].first) {
            return;
        }

        dfs(pos + 1, rest);

        int most = min(rest / freq[pos].first, freq[pos].second);
        for (int i  = 1; i <= most; ++i) {
            sequence.emplace_back(freq[pos].first);
            dfs(pos + 1, rest - i * freq[pos].first);
        }

        for (int i  = 1; i <= most; ++i) {
            sequence.pop_back();
        }
    }

    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        std::sort(candidates.begin(), candidates.end());
        for(auto &num: candidates) {
            if(freq.empty() || num != freq.back().first) {
                freq.emplace_back(num, 1);
            } else {
                ++freq.back().second;
            }
        }
        dfs(0, target);
        return ret;
    }
};

最核心的还是对于重复的数字只使用1次这个思路，就是首先排序，然后分析该数字能够使用的最多的次数，不仅要判断 rest 中最多包含几个重复数字，也要判断重复数字的个数。因此首先就得对candidate数组进行排序。

int most = min(rest / freq[pos].first, freq[pos].second);
for (int i  = 1; i <= most; ++i) {
    sequence.emplace_back(freq[pos].first);
    dfs(pos + 1, rest - i * freq[pos].first);
}

for (int i  = 1; i <= most; ++i) {
    sequence.pop_back();
}