一，有向无环图DAG描述表达式
1.DAG
若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，记为DAG。
2.用二叉树描述表达式
3.用DAG描述表达式
用二叉树描述表达式有缺点，有些结点大可不必存储，可以共用。
step1:把各个操作数不重复的排成一排。
step2:标出各运算符生效顺序。
step3:按顺序加入运算符注意分层。
step4:从底层上逐层检查同层的运算符是否可以合并。
二，拓扑排序AOV网
1.AOV网
用DAG表示一个工程，顶点表示活动，边<Vi,Vj>表示 活动Vi 必须先于 活动Vj 进行的这样一种关系，则将这种有向图称为 顶带你表示活动的网络，记为AOV网。
2.拓扑排序
有一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序：
①每个顶顶只出现一次
②若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径。即，无环
3.拓扑排序步骤
拓扑排序的算法有很多，下面是常见的：
①从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并输出。
②从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边
③重复上述过程，直至AOV为空，或者当前网中不存在无前驱的顶点为止。
4.逆拓扑排序
删除出度为0的顶点。
5.代码实现
1.常规实现
2.用BFS实现
三，关键路径AOE网
1.AOE网
再带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上权值表示完成该活动的开销(如：完成该活动时间),称之为用边表示活动的网络，简称AOE网。
注1：AOE与AOV都是有向无环图DAG。
注2：AOE与AOV区别在于他们顶点和边的意义不同。
注3：AOE与AOV区别在于，AOE网中边有权值，AOV中仅代表前后关系。
2.几个参量的定义
①Ve(k) : 事件Vk的最早发生时间。
②Vl(k) : 事件Vk的最迟发生时间。
③e(i) : 活动ai的最早开始时间。
④l(i) : 活动ai的最迟开始时间。
⑤d(i)：余量 d(i) = l(i) - e(i)。
注：d(i) = 0的路径，即为关键路径。
3.关键路径步骤
①求出所有事件最早发生时间Ve()
①求出所有事件最迟发生时间Vl()
①求出所有活动最早开始时间e()
①求出所有活动最迟开始时间l()
①求出所有活动的余量d()
注1：由Ve() 可知 e()。
注2：由Vl() 可知 l()。
注3：由e() 和 l() 可知 d()。
注4：由d() = 0，可找到关键路径。
