算法小试炼（差不多相当于重新过一遍ACWING，为了夏令营做点准备）

1.最长不重复子串

这个题目的具体意思就不用我说了，我这里给出两种算法

1）暴力搜索

只要机器够快，没有什么是暴搜解决不了的^ ^（开玩笑
很简单，我们只需要遍历长度，跟左边界就好了，这个应该没什么好说的

s = input()
n = len(s)
def solve(s):  # 判断字符串是否有重复,返回True 代表没重复
    charstr = set()
    for ch in s:
        if ch in charstr:
            return False
        charstr.add(ch)
    return True

res = 1
for maxl in range(2,n + 1):   # 字符串长度
    for i in range(n - maxl + 1):  # 左边界
        s2 = s[i : i + maxl]
        if solve(s2): res = maxl  # 我们的maxl是递增的，不用比较

2）滑动窗口

我们很明显的就能看出那个暴搜其实浪费了很多资源的，例如如果从1-5的子序列已经有重复的了，就不用再搜1-6的子序列了，于是，滑动窗口的思想应运而生
我们有两个指针，left 和 right，right先动，如果遍历到的元素不在set中，就把它加进去，并且lens + 1，反之，我们让left动，left去删除他遍历到的元素，直到right指针指到的元素不在set中

具体代码如下

s = input()
n = len(s)
left, right, lens, maxlen = 0, 0, 0, 0
strset = set()
while right < n:
    if s[right] not in strset:
        strset.add(s[right])
        right += 1
        lens += 1
        maxlen = max(lens,maxlen)
    else:
        while (s[right] in strset):
            strset.remove(s[left])
            left += 1
            lens -= 1
print(maxlen)

2.快排

快排的思想很简单，就是举一个数，然后找到这个数该在的位置，让这个数的左边都是小于他的，右边都是大于他的，分治做下去（这个数是否要变到他应该在的位置并不重要）

具体代码

n = int(input())
a = [int(x) for x in input().split()]
def quicksort(a,l,r):
    if l >= r : return
    x = a[l]
    i, j = l - 1, r + 1
    while (i < j):
        i += 1
        j -= 1
        while (a[i] < x):
            i += 1
        while (a[j] > x):
            j -= 1
        if (i < j): a[i], a[j] = a[j], a[i]
    quicksort(a,l,j)
    quicksort(a,j + 1,r)

quicksort(a,0,n - 1)
print(' '.join(map(str,a)))

3.归并排序

也是采取了分治思想，用一张图可以很好的展示分治排序
在这里插入图片描述
局部有序 --> 全局有序

具体代码如下

n = int(input())
a = [int(x) for x in input().split()]
def merge_sort(a,l,r):
    if l >= r : return
    mid = (l + r) // 2
    merge_sort(a, l, mid)
    merge_sort(a, mid + 1, r)

    temp = []
    i,j = l,mid + 1
    while (i <= mid and j <= r) :
        if a[i] < a[j]:
            temp.append(a[i])
            i += 1
        else:
            temp.append(a[j])
            j += 1
    
    if i <= mid:
        temp += a[i : mid + 1]
    else:
        temp += a[j : r + 1]
    a[l : r + 1] = temp[:]

merge_sort(a, 0, n - 1)
print(' '.join(map(str,a)))

4.整数二分

这个其实就两个模板，具体问题具体套一下
第一种就是 mid = (l + r) // 2，这时候要看a[mid] >=k r = mid
第二种就是 mid = (l + r + 1) // 2,这时候就看 a[mid] <=k l = mid
else的话只需要注意，r 永远是l - 1就好了

具体代码如下

## 整数二分，找到值在列表中的范围
# 第一行数n 和要查询的个数
# 第二行是单调递增的数组
# 其余后面几行是查询的数
# 浮点数二分没有那么复杂，没有+1 -1
n ,q = map(int, input().split())
a = [int(x) for x in input().split()]
for i in range(q):
    l ,r = 0, n - 1
    k = int(input())  # 要查询的数
    # 第一种模板
    while (l < r):          
        mid = (l + r) // 2
        if (a[mid] >= k):
            r = mid 
        else:
            l = mid + 1

    if a[l] != k : print('-1 1')
    else: 
        print(l, end = ' ')  # l相当于左边界
        print(r)
    # 第二种模板
    l ,r = 0, n - 1
    while (l < r):
        mid = (l + r + 1) // 2
        if (a[mid] <= k):
            l = mid
        else:
            r = mid - 1

    print(l)   # 这个l相当于右边界

5.一维前缀和

这个没啥好说的，就是为了能快速查到数组从 l 到 r的和
# 找a[l] +…+ a[r]很方便 , 下标从1开始
n ,m = map(int,input().split())
a = [0] + [int(x) for x in input().split()]
s = [0] * (n + 1)
for i in range(1,n + 1):
s[i] = s[i - 1] + a[i]

for i in range(m):  # m次查询
    l, r = map(int,input().split())
    print(s[r] - s[l - 1])

---------------现在反应过来不能一个个练了太慢了，我直接调到图论和DP，重点再过一下这两部分

先最短路部分
在这里插入图片描述

6.dijkstra

这个其实还是蛮简单的，就是要熟练，我回过头来写起来已经有点吃力了现在
dijkstra的原理很简单，就是每次重复n（点的个数）次，每次找到一个与原点距离最短的点，拿他去更新原点到其他点的距离，具体的证明我这里就不阐述了，时间复杂度是n^2，好像有一种堆优化的方法能做到复杂度为mlogn
在这里插入图片描述

具体代码如下

N,null = 510,0x3f3f3f3f


def dijkstra():
    dist[1] = 0
    
    for _ in range(n):  # 更新n次 因为有n个点，每次确定一个
        t = -1
        # 找出没有被确认的最短路径的点集合中离源点最近的点
        for j in range(1,n+1):
            if (not st[j] and (t == -1 or dist[t] > dist[j])):  # 他是第一个点 或者后面的点距离原点的距离比他小
                t = j
        st[t] = True
        for j in range(1,n+1):  # 用t去更新 其实只要更新不确定的，但为了代码方便就全部一起更新
            dist[j] = min(dist[j],dist[t] + g[t][j])
    
    if dist[n] == null : return -1
    else: return dist[n]


if __name__ == '__main__':
    g = [[null]*N for _ in range(N)]  # 稠密图用邻接矩阵
    dist,st = [null]*N,[False]*N      # dist用于存储每个点到起点的距离   st用于表示当前点已经确定最短了
    n,m = map(int,input().split())
    
    for _ in range(m):
        x,y,z = map(int,input().split())
        g[x][y] = min(g[x][y],z)  # 可能有重边 取最小的
    
    print(dijkstra())

7.bellman-ford

这个算法就是去根据边的信息去更新多次，最终要更新n（点的个数）次，就能求出来1到n的最短路
这个算法的好处是：1.允许有负边，2.他可以限制从1到n最多能经过几条边(等等看题)

在这里插入图片描述

具体代码如下

N, null = 100010, 0x3f3f3f3f
import copy
def bellman_ford():
    dist[1] = 0
    for _ in range(k):   # 遍历k次，因为有限制
        last = copy.deepcopy(dist) # 复制一下，只有限制边数才用到，怕会发生串联
        for j in range(m):  # 遍历遍历都更新所有的边
            a, b, c = edges[j]
            dist[b] = min(dist[b], last[a] + c)

    if dist[n] > null / 2: print('impossibile')
    else: print(dist[n])




if __name__ == '__main__':
    n, m, k = map(int,input().split())
    dist = [null] * N
    edges = []
    for _ in range(m):
        x, y, z = map(int,input().split())
        edges.append((x, y, z))
    bellman_ford()

8.spfa

这个算法其实就是对bellman-ford的改进，最坏情况下跟bellman-ford算法时间复杂度一样（好像一般比赛都会卡这个），他引入了一个思想就是，只有被更新的点才能去更新其他点，具体看代码把，我不是很喜欢用链表存储，点的个数太多的话邻接矩阵要开100000*100000，显然太大了，可以考虑使用两个列表分别存储点的连接和点的权重（如果不用链表的话），应该蛮好实现的，我这里就直接用邻接矩阵了哈

在这里插入图片描述

具体代码如下

##我还是不喜欢用链表存，我感觉有点麻烦
from collections import deque


def spfa():
    dist[1] = 0
    q = deque([1])
    while q:
        t = q.popleft()    # 弹出开头的元素
        st[t] = False      # 他就不在队列中了
        for i in range(1, n + 1):   # 这一步其实是要找到和t相连的结点，但是我没什么好的办法，只能遍历所有的
            if g[t][i] == null:continue
            if dist[i] > dist[t] + g[t][i]:
                dist[i] = min(dist[i], dist[t] + g[t][i])
                if not st[i]:  
                    q.append(i)
                    st[i] = True
    if dist[n] > null / 2: print('impossible')
    else: print(dist[n])




N = 510
null = 0x3f3f3f3f
dist, st = [null] * N, [False] * N
g = [[null] * N for _ in range(N)]
n, m = map(int,input().split())
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int,input().split())
    g[x][y] = min(g[x][y], z)
spfa()

9.spfa判断负环

他判断负环的方式其实很简单，只要有一个边，被更新了n次以上，就代表有负环了，所以只需要在原来的代码下改一点就好了，要注意的是开头我们要把所有的点都加入到队列中，因为1号点可能走不到负环

具体代码如下

##我还是不喜欢用链表存，我感觉有点麻烦
from collections import deque


def spfa():
    dist[1] = 0
    q = deque([x for x in range(1,n+1)])  # 是因为可能从1号点走不到负环。所以需要以所有点都走一下试试
    while q:
        t = q.popleft()    # 弹出开头的元素
        st[t] = False      # 他就不在队列中了
        for i in range(1, n + 1):   # 这一步其实是要找到和t相连的结点，但是我没什么好的办法，只能遍历所有的
            if g[t][i] == null:continue
            if dist[i] > dist[t] + g[t][i]:
                dist[i] = min(dist[i], dist[t] + g[t][i])
                cnt[i] = cnt[t] + 1
                if cnt[i] >= n : return 'Yes'
                if not st[i]:  
                    q.append(i)
                    st[i] = True
    return 'No'



if __name__ == '__main__':
    N = 510
    null = 0x3f3f3f3f
    dist, st = [null] * N, [False] * N
    cnt = [0] * N
    g = [[null] * N for _ in range(N)]
    n, m = map(int,input().split())
    for _ in range(m):
        x, y, z = map(int,input().split())
        g[x][y] = min(g[x][y], z)
    spfa()

10.flord

这种n^3的做法就蛮暴力的感觉哈哈，这个没什么好说的，三个for就完事儿了
在这里插入图片描述

具体代码如下

N, null= 210, 0x3f3f3f3f

def flord():
    for k in range(n + 1):
        for i in range(n + 1):
            for j in range(n + 1):
                g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j])





if __name__ == '__main__':
    n, m, k = map(int,input().split())  # k次查询
    g = [[null] * N for _ in range(N)]
    for i in range(n + 1):      # flord是在g上更新，所以要做这一步
        g[i][i] = 0
    for _ in range(m):
        x, y, z = map(int,input().split())
        g[x][y] = min(g[x][y], z)
    flord()
    for _ in range(k):
        x, y = map(int, input().split())
        if g[x][y] > null / 2: print('impossible')
        else: print(g[x][y])