张量值张量函数

张量值张量函数有以下类型：标量，向量和高阶张量

标量值张量函数：
$$\begin{gathered} \Psi =\Psi (T)=\det T \\ \Psi =\Psi (T,S)=T:S \end{gathered}$$

其中，$T,S$都是二阶张量

另外，二阶张量值张量函数：
$$\Pi =\Pi (T)=\alpha 1+\beta T$$

张量级数

函数$f(x)$可以近似表示成Taylor级数：$f(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\frac{{\partial }^{n}f(a)}{\partial x^n}(x-a{)}^n$

那么，对于张量也同样可以推导：假设现在有一个关于二阶张量$E$的标量值张量函数$\psi (E)$，那么可以近似表示成：

关于二阶张量E的二阶张量值张量函数$S(E)$，可以近似表示成：

其他代数表达式的级数展开：
$$\begin{gathered} {\exp }^S=1+S+\frac{1}{2!}{S}^2+\frac{1}{3!}{S}^3+... \\ \ln (1+S)=S-\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{3}{S}^3-... \\ \sin (S)=S-\frac{1}{3!}{S}^3+\frac{1}{5!}{S}^5 \end{gathered}$$

参考对称二阶张量$S$的谱表示：

可以将级数表示成：
$$\begin{gathered} {\exp }^S=\sum _{a=1}^3(1+{\lambda }_a+\frac{1}{2!}{\lambda }_a^2+\frac{1}{3!}{\lambda }_a^3+...){\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}=\sum _{a=1}^3{\exp }^{{\lambda }_a}{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)} \\ \ln (1+S)=\sum _{a=1}^3({\lambda }_a-\frac{1}{2}{\lambda }_a^2+\frac{1}{3}{\lambda }_a^3-...){\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}=\sum _{a=1}^3\ln (1+{\lambda }_a){\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)} \\ \sin (S)=\sum _{a=1}^3({\lambda }_a-\frac{1}{3!}{\lambda }_a^3+\frac{1}{5!}{\lambda }_a^5+...){\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}=\sum _{a=1}^3\sin ({\lambda }_a){\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)} \end{gathered}$$

其中${\lambda }_a$和${\hat{n}}^{(a)}$是张量S的特征值和特征向量

各向同性的张量值张量函数

一个二阶张量值的张量函数，$\Pi =\Pi (T)$，如果经过正交变换满足以下条件，则是各向同性的：

$\Pi (T)$和$T$有相同的主向量，即 $\Pi (T)$和$T$是同轴张量。
为了证明这点我们可以先将张量T的分量表示成主空间下的分量：

那么由张量T的主不变量构成的张量函数表示为：$\Pi =\Pi ({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$，以及张量T的变换是：
$$T^{\ast }=Q\cdot T\cdot Q^T$$
同样地，对于张量函数$\Pi$的变换，有：
$${\Pi }^{\ast }(T)=Q\cdot \Pi (T)\cdot Q^T$$

假设取正交张量分量为：

那么，计算得到：

其中，为了满足${\Pi }^{\ast }=\Pi$（各向同性），必须${\Pi }_{12}={\Pi }_{13}={\Pi }_{23}=0$，因此，$\Pi (T)$和$T$有相同的主向量

并且我们可以观察到，一个张量函数当且仅当表示成以下线性变换，才是各向同性的：
$$\Pi =\Pi (T)={\Phi }_{0}1+{\Phi }_{1}T+{\Phi }_2{T}^2$$
其中，${\Phi }_0,{\Phi }_1,{\Phi }_2$是张量T的不变量或T的特征值。

以下是简单证明。
考虑T和$\Pi$的谱表示，分别是：
$$T=\sum _{a=1}^3{\lambda }_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}={\lambda }_1{\hat{n}}^{(1)}⨂{\hat{n}}^{(1)}+{\lambda }_2{\hat{n}}^{(2)}⨂{\hat{n}}^{(2)}+{\lambda }_3{\hat{n}}^{(3)}⨂{\hat{n}}^{(3)}$$

$$\Pi =\sum _{a=1}^3{\omega }_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}={\omega }_1{\hat{n}}^{(1)}⨂{\hat{n}}^{(1)}+{\omega }_2{\hat{n}}^{(2)}⨂{\hat{n}}^{(2)}+{\omega }_3{\hat{n}}^{(3)}⨂{\hat{n}}^{(3)}$$

有相同的主方向${\hat{n}}^{(i)}$，那么可以将以下张量表示成：

求解以上方程组，并且定义${\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}\equiv M^{(a)}$，可以得到$M^{(a)}$表示成T的函数：

将这个解代入到

分别得到：
$$\begin{gathered} T=T \\ \Pi =\Pi (T)={\Phi }_{0}1+{\Phi }_{1}T+{\Phi }_2{T}^2 \end{gathered}$$
其中，${\Phi }_0,{\Phi }_1,{\Phi }_2$分别是T的特征值的函数，为：

同样地，我们可以证明如果给定了一个张量函数$\Pi (T)$，那么这个张量函数是各向同性的，如果：

张量值张量函数的导数

先考虑一个标量值的张量函数：
$$\Pi =\Pi (A)$$
$\Pi (A)$关于$A$的偏微分是：
$$\frac{\partial \Pi }{\partial A}={\Pi }_{,A}=\frac{\partial \Pi }{\partial A_{ij}}({\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j)$$

$\Pi (A)$的二阶微分是一个四阶张量：
$$\frac{{\partial }^2\Pi }{\partial A⨂\partial A}={\Pi }_{i,AA}=\frac{{\partial }^2\Pi }{\partial A_{ij}\partial A_{kl}}({\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j⨂{\hat{e}}_k⨂{\hat{e}}_l)=D_{ijkl}({\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j⨂{\hat{e}}_k⨂{\hat{e}}_l)$$

令$C$和b是正定对称二阶张量：
$$C=F^T\cdot F;b=F\cdot F^T$$

其中F是任意的二阶张量，且$\det F>0$，我们必须牢记的是，有一个标量值的各向同性张量函数$\Phi =\Phi (I_C,I{I}_C,II{I}_C)$，表示成C的主不变量，其中$I_C=I_b,I{I}_C=I{I}_b,II{I}_C=II{I}_b$
接下来，我们求出$\Phi$关于C和b的偏导数，我们先需要验证以下关系：
$$F\cdot {\Phi }_{,C}\cdot F^T={\Phi }_{,b}\cdot b$$
那么，通过应用导数的链式法则，我们可以得到：

$${\Phi }_{,C}=\frac{\partial \Phi (I_C,I{I}_C,II{I}_C)}{\partial C}=\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}\frac{\partial I_C}{\partial C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}\frac{\partial I{I}_C}{\partial C}+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}\frac{\partial II{I}_C}{\partial C}$$

考虑主不变量的偏导数，有：

将以上式子代入到${\Phi }_{,C}$里面，得到：
$${\Phi }_{,C}=\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}1+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}(I_{C}1-C)+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}(II{I}_C{C}^{-1})$$

整理一下：
$$\boxed{{\Phi }_{,C}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}{I}_C)1-(\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C})C+(\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}II{I}_C)C^{-1}}$$

另一种表达形式：
将$\frac{\partial I_C}{\partial C}=1,\frac{\partial I{I}_C}{\partial C}=I_{C}1-C,\frac{\partial II{I}_C}{\partial C}=C^2-I_{C}C+I{I}_{C}1$代入到
$${\Phi }_{,C}=\frac{\partial \Phi (I_C,I{I}_C,II{I}_C)}{\partial C}=\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}\frac{\partial I_C}{\partial C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}\frac{\partial I{I}_C}{\partial C}+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}\frac{\partial II{I}_C}{\partial C}$$
我们可以得到：
$$\boxed{{\Phi }_{,C}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}{I}_C+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}I{I}_C)1-(\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}{I}_C)C+(\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C})C^2}$$

如果我们再次将$\frac{\partial I_C}{\partial C}=1,\frac{\partial I{I}_C}{\partial C}=I{I}_C{C}^{-1}-II{I}_C{C}^{-2},\frac{\partial II{I}_C}{\partial C}=II{I}_C{C}^{-1}$

可以得到：
$$\boxed{{\Phi }_{,C}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_C})1+(\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}I{I}_C+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}II{I}_C)C^{-1}-(\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}II{I}_C)C^{-2}}$$

如果有$I_C=I_b,I{I}_C=I{I}_b,II{I}_C=II{I}_b$，则有：
$$\boxed{{\Phi }_{,b}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_b}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_b}{I}_b)1-\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_b}b+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_b}II{I}_b{b}^{-1}}$$

利用
$$\boxed{{\Phi }_{,C}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}{I}_C)1-(\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C})C+(\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}II{I}_C)C^{-1}}$$
可以得到：
$$F\cdot {\Phi }_{,C}\cdot F^T=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_C}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}{I}_C)F\cdot 1\cdot F^T-\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_C}F\cdot C\cdot F^T+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_C}II{I}_{C}F\cdot C^{-1}\cdot F^T$$

然后，我们可以观察到：

所以，$F\cdot {\Phi }_{,C}\cdot F^T$可以重写成：

根据$$\boxed{{\Phi }_{,b}=(\frac{\partial \Phi }{\partial I_b}+\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_b}{I}_b)1-\frac{\partial \Phi }{\partial I{I}_b}b+\frac{\partial \Phi }{\partial II{I}_b}II{I}_b{b}^{-1}}$$ 和上式，可以得到：

这表示，${\Phi }_{,C}$和b是同轴张量

再次，根据$C=F^T\cdot F$,计算标量值张量函数$\Phi =\Phi (C)$的关于张量F的导数：

张量C关于F的导数如下所示：

将以上的张量C关于F的导数代入到张量函数$\Phi (C)$关于张量F的导数表达式中：由于C的对称性，$C_{ij}=C_{ji}$，可以得到：

现在，假设C由对称二阶张量U给出，$C=U^T\cdot U=U\cdot U=U^2$，那么${\Phi }_{,C}$为：
$${\Phi }_{,C}=2{\Phi }_{,C}\cdot U=2U\cdot {\Phi }_{,C}$$
因此，可以说${\Phi }_{,C}$和U是同轴张量

令A是对称二阶张量，$\Phi =\Phi (A)$是一个标量值张量函数，那么一下关系成立：

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics