树的概念及结构

树的概念

树的一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它树根朝上，而叶子朝下。

有一个特殊的节点，称之为根节点，跟节点没有前驱节点；
除根节点之外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、T3、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <=m)又是一棵结构与此树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
因此，树是递归定义的；

树形结构中，子树之间不能有交际，否则就不是树形结构。

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；A节点的度为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称之为叶节点；B/C/H/I等等为叶节点

非终端接待你或分支节点：度不为0的节点；D/E/F/G等等为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称之为子节点的父节点；A为B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；B是A的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟结点；B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；此树的度为6

节点的层次：从根开始定义，跟为第一层，根的子节点为第二层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；此树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点同为堂兄弟；H、I互为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点分时尚的所有节点；A是所有节点的祖先

子孙：所有节点都是根节点的子孙；所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不交互的树的集合称之为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦，既要保存值域，又要保存节点和节点之间的关系，实际中书有很多种表示方式如：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

二叉树的概念及结构

概念

一棵二叉树是节点的一个有限结合，该集合：

或者为空
由一个根节点加上两颗分别成为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的节点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点的总数2^k - 1，则它就是满二叉树；
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树印出来的，对于深度k的有n个节点的二叉树，当且仅当每个节点斗鱼深度为k的满二叉树从1至n的节点意义对应时称之为完全二叉树，要注意的是，满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点；
若规定的根节点层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^h - 1；
对任何一棵二叉树，如果度为0的叶节点个数为n0，度为2的分支节点为n2，则有n0=n2+1；
若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树深度，h=log2(n+1)；
对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对多有节点从零开始编号，则对与序号为i的节点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
若2i+1<n,左孩子序号：2i+1，2i+1>n否则无左孩子；
若2i+1<n,右孩子序号：2i+2，2i+2>n否则无右孩子。

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种是顺序结构，一种链式结构。

顺序存储

舒徐结构存储时使用数组来存储，一般使用数组知识和表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一个二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构时至，用链来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该节点的左孩子和右孩子所在的链节点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们使用的一般都是二叉链，红黑树之类的高阶数据结构才会使用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不是和用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统的堆是两码事。

堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K={k0,k1,k2, ... ,k(n-1)}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki<=K(2i+1)且Ki<=K(2i+2) （Ki>=K(2i+1)且Ki>=K(2i+2)） i=0,1,2...，则称为小堆（大堆）。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做小根堆或最小堆。

堆的性质：