1.问题

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列，返回 0 。

一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。

示例 2

输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。

示例 3

输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

2.解题思路

2.1 动态规划

定义dp_ij表示text₁的前i-1个字符和text₂ 的前j-1个字符所能形成的最长公共子序列的长度。
令len1为text₁ 的总长，len2为text₂ 的总长，则dp_len1,len2 即为题目所求。

当 i=0 时，text₁ [0:i] 为空，空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都是 0，因此对任意 0≤j≤len2，有 dp_0,j=0；
当 j=0 时，text₂[0:j] 为空，同理可得，对任意 0≤i≤len1，有 dp[i][0]=0。

因此动态规划的边界情况是：当 i=0 或 j=0 时，dp_i,0=0。

当 i>0 且 j>0 时，考虑 dp_ij的计算：
- 当 text₁[i−1] = text₂[j−1] 时，将这两个相同的字符称为公共字符，考虑 text₁[0:i−1] 和 text₂[0:j−1] 的最长公共子序列，再增加一个字符（即公共字符）即可得到 text₁[0:i] 和 text₂[0:j] 的最长公共子序列，因此 dp_ij=dp_i-1,j-1+1。
- 当 text₁[i−1]≠text₂[j−1] 时，考虑以下两项：
  - text₁[0:i−1] 和 text₂[0:j] 的最长公共子序列；
  - text₁[0:i] 和 text₂[0:j−1] 的最长公共子序列。
  要得到 text₁[0:i] 和 text₂[0:j] 的最长公共子序列，应取两项中的长度较大的一项，因此 dp_ij==max⁡(dp_i−1,j, dp_i,j−1)。

由此可以得到如下状态转移方程：

当text₁[0:i-1]=text₂[0:j-1], dp_i,j =dp_i-1,j-1 +1;
否则，dp_i,j =max{dp_i,j-1 , dp_i-1,j }

最终，dp_len1,len2 即为text₁ 和 text₂ 的最长公共子序列。

例如，text₁ =abcddab, text₂ =bdcaba，则动态规划矩阵如下图：

在这里插入图片描述

3.代码

class Solution {
    /**
动态规划（利用偏移）
上述「追加空格」的做法是我比较习惯的做法 🤣

事实上，我们也可以通过修改「状态定义」来实现递推：

f[i][j] 代表考虑 s1 的前 i−1 个字符、考虑 s2 的前 j−1 的字符，形成的最长公共子序列长度。

那么最终的 f[n][m] 就是我们的答案，f[0][0] 当做无效值，不处理即可。

s1[i-1]==s2[j-1] : f[i][j]=f[i−1][j−1]+1。代表使用 s1[i−1] 与 s2[j−1] 形成最长公共子序列的长度。
s1[i-1]!=s2[j-1] : f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])。代表不使用 s1[i−1] 形成最长公共子序列的长度、不使用 s2[j−1] 形成最长公共子序列的长度。这两种情况中的最大值。

作者：宫水三叶
链接：https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/solutions/697187/gong-shui-san-xie-zui-chang-gong-gong-zi-xq0h/
来源：力扣（LeetCode）
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    */
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        char[] t1 = text1.toCharArray();
        char[] t2 = text2.toCharArray();
        int length1 = t1.length;
        int length2 = t2.length;
        int[][] dp = new int[length1+1][length2+1];
        for (int i = 1; i < length1 +1; i++) {
            for (int j = 1; j < length2 +1; j++) {
                if (t1[i-1] == t2[j-1]){
                    // 这边找到一个 lcs 的元素，继续往前找
                    dp[i][j] = 1+ dp[i-1][j-1];
                }else {
                    //谁能让 lcs 最长，就听谁的
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[length1][length2];
    }
}