序言
1 AVL树的概念
2 AVL树节点的定义
3 AVL树的插入
- 是否继续更新依据：子树的高度是否变化
4 AVL树的旋转
- 旋转的原则：
- - 1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
  - 2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
  - 3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
  - 4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
5.如何验证一颗树是AVL树的验证？
6 AVL树的删除(了解)
7 AVL树的性能

接——map和set的应用总结

序言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。

2 AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：
平衡因子（_bf）=右子树的高度-左子树的高度

struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;//键值对
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;  // 平衡因子 balance factor=右子树的高度-左子树的高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

是否继续更新依据：子树的高度是否变化

下面拿一个右单旋的图来说明一下parent、subL、subLR三者之间的关系，让读者更能理解这里向上更新平衡因子的逻辑。
在这里插入图片描述

更新之后如果：（_bf为该节点的平衡因子，平衡因子=右子树的高度-左子树的高度）

parent->_bf == 0，那么之前parent->_bf是 1 或者 -1。
说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树整体高度不变，对于parent的双亲结点没有影响，不需要继续往上更新。
parent->_bf == 1 或 -1，之前是parent->_bf == 0。
说明插入前两边一样高，现在插入一边更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新。
parent->_bf == 2 或 -2，之前parent->_bf == 1 或者 -1。
现在插入一个新节点后严重不平衡，违反规则需要就地处理——旋转，如何旋转？下面会有介绍。

AVL树的插入代码整体框架：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)//如果当前是空树
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	
	//向下找该结点的插入位置
	//开始向下寻找该要被插入结点的父节点
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;//往右走
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;//往左走
		}
		else
		{
			return false;//不能插入相等（重复）的值
		}
	}
	//找到位置然后正确的将结点插入
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	// 1、开始向上更新 平衡因子
	while (parent) // parent为空，也就更新到根了
	{
		// 新增在右，parent->bf++;
		// 新增在左，parent->bf--;
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
		
		//parent->_bf == 0，那么之前parent->_bf是 1 或者 -1
		//说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树整体高度不变，
		//对于parent的双亲结点没有影响，不需要继续往上更新，退出更新的循环
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		//parent->_bf == 1 或 -1，说明之前是parent->_bf == 0，两边一样高，
		//现在插入一边更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新。
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		// parent->_bf == 2 或 -2，说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，
		// 现在插入严重不平衡，违反规则需要就地处理——旋转
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//左单旋
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			//右单旋
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			//左右双旋
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			//右左双旋
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			
			else
			{
				assert(false);
			}
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	return true;
}

4 AVL树的旋转

旋转的原则：

1、让这颗子树左右高度不超过1
2、旋转过程中继续保持是搜索树
3、更新调整节点的平衡因子
4、让这颗子树的高度跟插入前保持一致

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，编写程序时有以下几种情况需要考虑：

30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
60可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点；如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

代码及注释：

void RotateR(Node* parent)
{
	// SubL: parent的左孩子
	// SubLR: parent左孩子的右孩子，注意：该结点可能为空
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	// 旋转完成之后，30的右孩子作为60的左孩子
	parent->_left = subLR;
	// 并且如果30的右孩子存在，因为时三叉连，需要更换其双亲结点parent为60
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}

	// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
	Node* ppNode = parent->_parent;
	// 60 作为 30的右孩子
	subL->_right = parent;
	// 更新60的双亲
	parent->_parent = subL;

	// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
	//if (_root == parent)
	if (ppNode == nullptr)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}
		//更新subL也就是30的双亲结点
		subL->_parent = ppNode;
	}
	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子，看图调整即可，右单旋都是固定的
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

在这里插入图片描述

实现及情况考虑可参考右单旋，这里就不多赘述了。
参考代码：

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* ppNode = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (ppNode == nullptr)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}

		subR->_parent = ppNode;
	}

	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

在这里插入图片描述

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
判断整体的平衡因子的重要依据就是看60旋转前的平衡因子，从图中可以知道，60的左右孩子分别变成30的右孩子和90的左孩子，所以最终平衡因子的判断只需要看是

在60的左边b新增（平衡因子：30->0,60->0,90->1）
还是在60右边c新增（平衡因子：30->-1,60->0,90->0）
60自己就是新增的结点，那么之前a、d的高度一定是0(否则插入60之前就不是一颗AVL树了)（平衡因子：30->0,60->0,90->0）

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;//30
	Node* subLR = subL->_right;//60

	//最后判断整体的平衡因子的重要依据就是看60的平衡因子，从图中可以知道，60的左右孩子分别变成，
	//30的有孩子和90的左孩子，所以最终平衡因子的判断只需要看在60的左边b新增，还是右边c新增即可
	int bf = subLR->_bf;
	//对30进行左旋
	RotateL(parent->_left);
	//对90进行右旋
	RotateR(parent);

	if (bf == -1) // 60左子树新增
	{
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1) // 60右子树新增
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0) // 60自己就是新增结点
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}//其他情况就报断言错误
	else
	{
		assert(false);
	}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

具体细节可参考左右双旋，先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
判断整体的平衡因子的重要依据就是看60旋转前的平衡因子，从图中可以知道，60的左右孩子分别变成30的右孩子和90的左孩子，所以最终平衡因子的判断只需要看在60的左边b新增，还是右边c新增，或者说自己就是新增的结点即可。
在这里插入图片描述

代码：

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

总结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
当subR的平衡因子为1时，执行左单旋
当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

5.如何验证一颗树是AVL树的验证？

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确

void Inorder()//封装中序遍历函数，防止直接访问根节点_root
{
	_Inorder(_root);
}

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_Inorder(root->_right);
}

int Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	
	int lh = Height(root->_left);
	int rh = Height(root->_right);

	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

bool IsBalance()//封装判断平衡函数，防止直接访问根节点_root
{
	return IsBalance(_root);
}

bool IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}

	int leftHeight = Height(root->_left);
	int rightHeight = Height(root->_right);

	if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
	{
		cout <<root->_kv.first<<"平衡因子异常" << endl;//和当前标识的平衡因子不符
		return false;
	}

	return abs(rightHeight - leftHeight) < 2//平衡因子大于等于2就不是一个AVL树了
		&& IsBalance(root->_left)
		&& IsBalance(root->_right);
}

6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，通过频繁的旋转才达到这样的绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
红黑树会减少一些旋转次数，插入数据时相比AVL树就不会那么严格。