华中科技大学《计算机图形学》课程

MOOC地址：计算机图形学（HUST）

计算机图形学 | 变换与观察

6.1 神奇的齐次坐标

回顾几何阶段

整体流程：

这其中存在3种变换：

• 坐标系的变换
• 模型本身的运动
• 观察者的运动

几何变换

以上各种变换都可以通过以下变换的复合来计算：

• 平移
• 比例
• 旋转
• 对称
• 错切

图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。

下面以二维为例，讲解各个变换。

平移

指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程，是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）。

比例

对p点相对于坐标原点沿x方向放缩S_x倍，沿y方向放缩S_y倍。其中S_x和S_y称为比例系数。

旋转

将p点绕坐标原点转动θ角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。

对称

对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。

错切

也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。

总结：

齐次坐标的引入

齐次坐标的概念和相关问题

齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。

以二维坐标系下点p(4,3)为例：齐次坐标表示为p(hx,hy,hz)，具体可以为P(4,3,1), P(8,6,2)等等。

说明齐次坐标的不唯一性。

规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。

规范化的方法：将每一维除以h。

以二维坐标系下点p(4,3)为例：齐次坐标表示为P(4,3,1), P(8,6,2)等等；其中，规范化齐次坐标表示P(4,3,1)；

规范化：将P(8,6,2)规范化只需要对每一维除以h即可。即：P(8/2,6/2,2/2)得到P(4,3,1)。

基于齐次坐标的变换

全部统一为矩阵运算：

其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；
T2是对图形进行平秱变换；
T3是对图形作投影变换；
T4则可以对图形作整体比例变换。

整体比例变换：

如果有多个点？如果变换多次呢？

1. 几何变换均可表示成P’ = P ∙ T 的形式，其中P和P’可以有多行（有几个点对应几行）；
   

2. 如果是多次变换，则T变成多次变换对应矩阵的乘积：
   

6.2 三维模型，动起来！

基本三维变换

基本的三维变换包括：

• 平移
• 比例
• 旋转
• 对称
• 错切

三维坐标(x,y,z)的齐次坐标表示(hx,hy,hz,h)。

以维坐标系下点p(4,3,2)为例：齐次坐标表示具体可以为P(4,3,2,1), P(8,6,4,2)等，规范化齐次坐标表示为P(4,3,2,1)。

基于三维齐次坐标的变换：

根据T3D在变换中所起的作用，可将T_3D分成四个子矩阵：

T₁：3×3阶子矩阵，作用是对点进行比例、对称、旋转、错切变换
T₂：1×3阶子矩阵，作用是对点进行平移变换
T₃：3×1阶子矩阵，作用是进行投影变换
T₄：1×1阶子矩阵，作用是进行整体比例变换

平移

指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程，是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）。

比例

对p点相对于坐标原点沿x方向放缩S_x倍，沿y方向放缩S_y倍，沿z方向放缩S_z倍。其中S_x、S_y和S_z称为比例系数。

旋转

将p点绕坐标轴转动θ角度得到新的点p’的重定位过程。

正方向如何确定？

按右手定则，规定逆时针为正，顺时针为负。

对称

对称变换后的图形是原图形关于某一轴线、某一坐标平面或原点的镜像。

关于坐标平面：

关于坐标轴：

错切

也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。

假设有一个x方向上的错切则：x’=x+dy+gz。

整体比例变换

整体比例变换：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩S倍。

逆变换

所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换。

平移的逆变换

平移的逆变换就是反向平移，将平移后的点移回到原处。

其变换矩阵为：

比例变换的逆变换

比例变换的逆变换就是将比例因子取为倒数。

其变换矩阵为：

旋转变换的逆变换

旋转变换的逆变换就是反向旋转，也就是将旋转角度由θ改为- θ。

其变换矩阵为：

复合变换

三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。

相对于任一参考点的变换

相对于参考点F(x_f,y_f,z_f)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：

1. 将参考点F移至坐标原点
2. 针对原点进行二维几何变换
3. 进行反平移

绕任意轴的三维旋转变换

答案将在下一节给出。

6.3 观察者也能动

绕任意轴的三维旋转变换

假设已知空间有任意轴AB，A点的坐标为A(x_A,y_A,z_A)，AB的方向数为(a,b,c)。

现有空间一点p(x, y, z) ，绕AB轴逆时针旋转θ角后成为p’ (x’, y’, z’ ) ，若旋转变换矩阵为T_RAB。

则：[x’ y’ z’ 1] = [x y z 1] · T_RAB

问题：如何求出T_RAB？

步骤：

1. 把A点移动到坐标原点
2. 把AB轴绕到某个坐标轴上
3. 旋转
4. 求1、2变换的逆变换，回到AB原来的位置

第一步：把A点移动到坐标原点

第二步：把AB轴绕到某个坐标轴上

绕x轴正转α角，将O’B’转动到XOZ平面上

绕y轴反转β角，将O’B’转动到z轴上

第三步：旋转

此时，AB轴与z‘轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。

绕z轴旋转θ角的旋转变换矩阵为：

第四步：求1、2变换的逆变换，回到AB原来的位置

也就是求 T_tA ,T_Rx ,T_Ry 的逆变换。

总结：

观察变换

观察变换：从世界坐标系到观察坐标系的转换。

观察坐标系：

坐标原点：观察者所在的位置。

其中：

z_v：视点和观察物体上焦点的连线
y_v：向上的方向
x_v：按照右手定则确定的方向

实际上求什么？

求世界坐标系中点Q(x,y,z)在观察坐标系中的坐标值。

观察变换的实现：

1. 平移观察参考点到用户坐标系原点
   
2. 进行旋转变换分别让x_v、y_v和z_v轴对应到用户坐标系中的x、y和z轴。
   

模型变换与观察变换

观察变换的应用：场景漫游

模型变换不观察变换具有对偶性。但是由于场景中只有部分物体运动，所以效果不同。