一. 感知机的定义

感知机接收多个输入信号，输出一个信号。这里所说的“信号”可以想象成电流或河流那样具备“流动性”的东西。像电流流过导线，向前方输送电子一样，感知机的信号也会形成流，向前方输送信息。但是，和实际的电流不同的是，感知机的信号只有“流/不流”（1/0）两种取值。

其中$x_1、x_2$是输入信号，$y$是输出信号，$w_1、w_2$是权重。输入信号被送往神经元时，会被分别乘以固定的权重$（w_1、w_2）$。神经元会计算传送过来的信号的总和，只有当这个总和超过了某个界限值时，才会输出1。这也称为“神经元被激活”。这里将这个界限值称为阈值，用符号$\theta$表示。用数学表达式表达如下：

二. 感知机实现基本逻辑电路

1. 与门

与门仅在两个输入均为1时输出1，其他时候则输出0。与门的真值表如下：

2. 或门

或门只要有一个输入信号是1，输出就为1。或门的真值表如下：

3. 与非门

与非门当两个输入信号同时为1时输出0，其他时候则输出1。与非门的真值表如下：

4. 异或门

异或门在两个输入信号相同（同时为0或者为1）时输出0，其他时候输出1。

5. 感知机实现基本逻辑电路

import numpy as np

# 与门
def AND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.7
    tmp = np.sum(x * w) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1


# 与非门
def NAND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([-0.5, -0.5])
    b = 0.7
    tmp = np.sum(x * w) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

# 或门
def OR(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.2
    tmp = np.sum(x * w) + b
    if tmp <= 0:
        return 0
    else:
        return 1

if __name__ == '__main__':
    print("与门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 =",AND(1, 1))
    print("与门:输入x1 = 0,x2 = 1,输出 =", AND(0, 1))
    print("与门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 =", AND(0, 0))

    print("或门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 =", OR(1, 1))
    print("或门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 =", OR(1, 0))
    print("或门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 =", OR(0, 0))

    print("与非门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 =", NAND(1, 1))
    print("与非门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 =", NAND(1, 0))
    print("与非门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 =", NAND(0, 0))

运行结果：

与门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 = 1
与门:输入x1 = 0,x2 = 1,输出 = 0
与门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 = 0
或门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 = 1
或门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 = 1
或门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 = 0
与非门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 = 0
与非门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 = 1
与非门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 = 1

三. 感知机的局限性与解决

1. 单个感知机的局限

前面我们通过感知机已经实现了与门，或门，与非门，但是感知机无法实现异或门。

我们试着将或门的动作形象化。或门的情况下，当权重参数$(b,w_1,w_2)=(-0.5,1.0,1.0)$时，可满足或门的真值表条件。此时，感知机可用下式表示。

感知机会生成由直线$-0.5+x_1+x_2=0$分割开的两个空间。其中一个空间输出1，另一个空间输出0。

或门在$(x_1,x_2)=(0,0)$时输出0，在$(x_1,x_2)$为$(0,1)、(1,0)、(1,1)$时输出1。下图中，$○$表示0，$△$表示1。如果想制作或门，需要用直线将图中的$○$和$△$分开。实际上，刚才的那条直线就将这4个点正确地分开了。
换成异或门的话会如何？如下图所示。

显然从图中可以看出，不能使用一条直线将图中的$○$和$△$分开。

单个感知机的局限性就在于它只能表示由一条直线分割的空间。

2. 多层感知机

感知机可以通过叠加实现非线性可分的问题。异或门可以通过与门，与非门，或门的叠加实现。

异或门编程实现

# 异或门
def XOR(x1, x2):
    s1 = NAND(x1, x2)
    s2 = OR(x1, x2)
    y = AND(s1, s2)

    return y
    
print("异或门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 =", XOR(1, 1))
print("异或门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 =", XOR(1, 0))
print("异或门:输入x1 = 0,x2 = 1,输出 =", XOR(0, 1))
print("异或门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 =", XOR(0, 0))

运行结果：

异或门:输入x1 = 1,x2 = 1,输出 = 0
异或门:输入x1 = 1,x2 = 0,输出 = 1
异或门:输入x1 = 0,x2 = 1,输出 = 1
异或门:输入x1 = 0,x2 = 0,输出 = 0