~~因为学机器学习的时候发现自己线性代数忘光光了（悲~~😓，本篇捞一捞当年学线性代数看哔哩哔哩宋浩老师补充记的潦草笔记。

📚线性代数知识点

🐇向量

🥕向量的线性组合

🥕线性相关无关的性质

🥕线性相关无关的定理

🥕极大线性无关组

🐇方程组

🥕线性方程组有解判定

🥕方程组解的结构

🐇矩阵

🥕矩阵的运算

🥕逆矩阵

🥕矩阵的初等变换：交换，数乘，倍加

🥕矩阵的秩

🥕伴随矩阵

🐇行列式

🥕行列式的重要性质

🥕行列式的求解

🥕行列式应用

🐇 二次型

🥕二次型的定义

🥕标准型

🥕规范型

🐇 特征值和特征向量

🥕特征值和特征向量

🥕相似对角化

🥕内积

🥕正交和正交相似

🥕实对称矩阵的对角化（实对称矩阵一定能对角化）

🥕正定矩阵

🥕最小二乘问题

🥕QR分解

🐇 知识串联

🥕特征值相同

🥕两矩阵相似的条件

🥕矩阵A可逆

🥕矩阵合同

🥕归纳等价、相似、合同矩阵

🥕线性代数中的提公因子

🥕初等变换总结

🥕关于正定矩阵之类

📚线性代数知识点

🐇向量

🥕向量的线性组合

🥕线性相关无关的性质

🥕线性相关无关的定理

🥕极大线性无关组

🐇方程组

🥕线性方程组有解判定

AX=B

AX=0

🥕方程组解的结构

AX=0

AX=B

🐇矩阵

🥕矩阵的运算

补充矩阵乘法条件记忆：中间相等

重点关注：

AB一般不等于BA：说明左右顺序不互换，在左边乘就一起在左边乘。
AB=AC且A≠0，推不出B=C：如果补充A可逆，则有AB=AC，可推出B=C
AB=0推不出A=0或B=0：如果AB都是方阵，那么由AB=0，可以推出|A|=0或者|B|=0；在后边kα=0，可以推出k=0或者α=0S
（AB）² ≠ A²B²
转置和逆的一些比较

🥕逆矩阵

逆矩阵的定义，本身不常用，但关注它的推论：如果AB=E，那么A，B均可逆，且互逆。

推论应用证明思路：已知（A+E）的逆=Y，最后即证（A+E）Y=E（若有相关系数则左移）

A可逆的所有充要条件

🥕矩阵的初等变换：交换，数乘，倍加

初等变换总结：

①求A逆，只做初等行变换
②求矩阵的秩，把A化成阶梯型（行列皆可），非零行有几行它的秩就是几
③求a1,a2,....的极大线性无关组，把这些向量列成列，只做初等行变换，行简化阶梯型
④求Ax=0的解，只对A做初等行变换
⑤求Ax=B的解，只对增广矩阵做初等行变换
⑥求特征向量，对齐次线性方程组，只做初等行变换
⑦化二次型对A,E做相同初等列变换；只对A做相应的初等行变换。这个相应是和列变换相应。即列变换和行变换是一套的，配套进行，做完一个列变换，马上做对应的行变换

🥕矩阵的秩

对于n阶矩阵，AB=0,则有r(A)+r(B)≤n

r(AB) ≤ min{r(A),r(B)}

相关题型

Ax=0,基础解系，n-r(A)
求向量组的秩：把向量组成矩阵，矩阵的秩就是向量组的秩
在特征向量中假设λi是矩阵A的Ni重特征值，则A与∧相似<=>r(A-λiE)=N-Ni(i=1,2,…,N)

🥕伴随矩阵

🐇行列式

🥕行列式的重要性质

矩阵的逆的行列式 ＝ 1/矩阵行列式

伴随矩阵的行列式 ＝矩阵行列式的n-1次

转置的行列式等于它本身

det(kA)＝k的n次det(A)

某一行（列）有公因子k，k外提一次；所有行（列）有公因子k,k外提n次。

两行（列）的元素相等，D=0；两行（列）元素成比例，D=0；某一行（列）的元素全为0，D=0；

不过D=0不能反推标蓝条件。但D=0可以说明，该矩阵降秩，不可逆，其行（列）向量组线性相关。

🥕行列式的求解

①纯数的行列式，化为上三角

②带字母的行列式

某一行（列）尽可能化出0，按行展开
拉普拉斯定理：任取k行（列），由这k行（列）元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和=D。

上下项相同的看看能不能化到三角行列式。

③简化计算：及时提取公因数到外边

④特殊行列式

范德蒙行列式
克莱姆法则

🥕行列式应用

①Ax=0(n方程n未知数），有非零解，则 |A|=0；

②n个n维向量组，判断线性相关/无关——|A|=0得线性相关；反之无关。

③判断A可逆，|A|≠0

④求 A逆=伴随矩阵/A的行列式（不常用）

⑤二次型正定判断，各阶顺序主子式都大于零

🐇 二次型

🥕二次型的定义

简单理解就是次数为二次

二次型→矩阵表达式

平方项的系数直接做成主对角元素
交叉项的系数除以2放到两个对称的相应位置上（相应位置为ij和ji位置）。所求的矩阵A即称为二次型的矩阵，它一定是对称的。即A转置等于A。
前头写上（x1 x2 x3...）后头写上竖着的（x1 x2 x3）

矩阵→二次型

主对角线元素直接作为平方项的系数
取主对角线右上角元素乘以2作为交叉项系数，至于跟的是X几，就看几行几列。如上图的逆过程，主对角线右上角有三个数，以4为例子，它在二行三列，所以对应为8X2X3。
直接进行上面两步的前提是已知是二次型的矩阵，即需要观察是否对称。至于不对称的那两个位置，把两个数相加除以2再分别写到原来的那两个位置，然后再按上述①②步计算。