第6章对数函数，指数函数和反三角函数

6.1 引言

6.2 用积分定义自然对数的动机

内容来源：<> Tom M. Apostol

6.1 引言

每当有人将他的注意力集中到数量关系的时候，他要么是正在学习已经的函数，要么正大试图发现未知函数的性质。函数的思想是如此地广泛如此地普遍，那么自然界中出现无穷无尽的各种函数也就不足为奇了。令人惊奇的是，几个非常特殊的函数支配着如此多的完全不同的自然现象。在本章节，我们将学习其中的一些函数——首先是学习对数函数及其反函数(指数函数)，其次是学习三角函数的反函数。学习数学的任何人,不管其目标是将其作为一门抽象课程，还是将其视为解决其它科学领域问题的数学工具，都会发现熟练掌握这些函数极其性质的知识是必不可少的。

读者可能有机会在初等代数或三角学课程中使用过以10为底的对数。初等代数中给出的定义通常是这样：假如 x > 0，以10为底的x的对数(用 $\log_{10} x$ 表示)是使得 $10^{u}=x$ 成立的实数u。假如 $x=10^{u}$ , $y=10^{v}$ , 根据指数定律，就产生了表达式 $xy=10^{u+v}$ 。根据对数法则，就成了

(6.1) $\log_{10} xy = \log_{10}x+\log_{10}y$

正是由于这种基本属性，使得对数特别适用于涉及乘法的运算(译注：将复繁的乘法运算转化为简单的加法运算，节约了大量的运算时间，在没有计算机的年代，节约了大量脑力)。数10作为基底(base，或root,或radix)特别有用,因为实数通常都十进制书写，并且某些重要的数0.01,0.1, 1, 10, 100, 1000, . . .，等等，都分别有它们的对数，即，-2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .。

不必将对数的基底限定在10。任何其它b ≠ 1 的正数作为基底也同样合适。

(6.2) $u=\log_b x$ 意味着 $x=b^u$ 以及基本属性 (6.1) 成了

(6.3) $\log_{b}xy = \log_{b}x+\log_{b}y$

如果我们从批判的角度审视(6.2)的定义,我们会发现它存在几个逻辑漏洞。首先，要理解(6.2)，我们必须知道 $b^u$ 指的是什么。当u 是整数或比率数(rational number，即两个整数的商式)时，这样定义是很容易的，但是，当u是非比数(irrational number)时，定义 $b^u$ 并不是一件容易的事(a trivial matter)。例如，我们应该如何定义 $10^{\sqrt{2}}$ ？即使我们设法满足了以上 $b^u$ 的定义，在我们将(6.2)作为好的对数定义之前，我们还需要克服更多的困难。必须证明，对于每一个x > 0,都必定存在一个整数 u 使得 $x=b^u$ 成立。此外，为了从(6.2)推导出(6.3)，必须建立对所有实指数u和v的指数定律 $b^{u}b^{v} = b^{u+v}$ 。

通过这种方法克服这些困难，达成符合对数定义的条件是可能的，但是这个过程冗长繁琐。然而，幸运的是，可以以一种完全不同的方式研究对数，这种方式要简单得多，并且展现了微积分方法的强大和优雅。这种思想就是首先引入对数，然后用对数定义 $b^u$ 。

6.2 用积分定义自然对数的动机

对数是一个可以以多种不同方式定义的数学概念的典型例子。当某位数学家试图公式化某个数学概念的定义时，例如，定义对数概念时，他通常会想到一些他希望这个概念具有的性质。通过考察这些性质，他通常得出了一个简单的公式或过程，这些公式或过程可以用作定义，从中可以得出所需的性质作为逻辑推论(deductions)。我们将说明如何使用此过程来得出下一节中给出的对数的定义。

我们希望对数具有的性质之一是乘积的对数应该是各个因子的对数之和。让我们单独考虑一下这个性质，看看它会把我们引向何方。如果我们把对数看成一个函数f，那么我们希望这个函数具有公式所表达的性质

(6.4) f(xy) = f(x) + f(y) (其中，x, y和xy都在函数的定义域中)。

类似于(6.4)这样的等式，表达了函数在在两个或多个点上的值之间的关系，称为函数方程(functional equation)。很多数学问题可以归结为解函数方程，得到满足方程的任意函数。通常，这种方程有很多不同的解，要求尽所有解非常困难。只寻找某些具有附加性质(如连续性和可微性)的这些方程却相对容易。在多数情况下，这些解是我们唯一感兴趣的解。我们将采用这种观点，并确定(6.4)的所有可微解。但首先让我们尝试仅从(6.4)中推断出我们需要什么信息，而不对 f 做任何进一步的限制。

(6.4)的一个解是在实轴上处处为零的函数。事实上，这是(6.4)的定义为所有实数的唯一解。为了证明这一点，我们令f为满足(6.4)的任意函数。假如0在域内，则我们可以在(6.4)中代入y = 0 ,得到 f(0) = f(x) + f(0)，这意味着，对于定义域内的每一个x，都有f(x) = 0。换句话说，假如0在定义域内，则f一定等于0。因此，(6.4) 的不完全为零的解不能定义在 0点。

假如f是(6.4)的一个解并且假如1在定义域内，我们可以在(6.4)中代入x = y = 1，得到f(1) = 2 f(1)，这意味着

f(1) = 0 。

假如1和-1都在定义域内，我们可以在(6.4)中代入x = y = -1，推导出f(1) = 2f(-1)，因此，f(-1) = 0 。现在，假如x,-x,1和-1都在域内，我们可以在(6.4)中代入y = -1，推导出f(-x) = f(-1) + f(x)，因为f(-1) = 0,我们求得

f(-x) = f(x) 。

换句话说，(6.4)的任何解必然是偶函数。

现在我们假定函数f在每一个x ≠ 0的点都具有导数f ’(x)。假如我们在(6.4)中保持y不变，并且针对x进行微分(在左侧使用求导链式法则)，我们求得

y f ’(xy) = f ’(x)

当 x = 1时，这个式子给出y f ’(y) = f ’(1),因此，我们有

$f'(y) = f'(1)\frac{1}{y}$ (对每一个y ≠ 0)。

从这里我们可以看出，导数f ’是单调的，并且在不包括原点的闭区间上是可积的。此外，f 在每一个这样的闭区间上都是连续的，我们可以应用积分第二基本定理写成

$f(x)-f(c) = \int_{x}^{c} f'(t)dt=f'(1)\int_{x}^{c}\frac{1}{t}dt$ 。

如果x > 0，这个方程对于任意正数c都成立，假如x < 0，则其对任意负数c都成立。因为f(1) = 0,选择 c = 1,我们得到

$f(x)=f'(1)\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ ( x > 0 ) 。

假如x是负数,则- x是正数，且因为f(-x) = f(x),我们求得

$f(x)=f'(1)\int_{1}^{-x}\frac{1}{t}dt$ ( x < 0 ) 。

这两个公式可以合并成一个对正负x都有效的公式，即

(6.5) $f(x)=f'(1)\int_{1}^{|x|}\frac{1}{t}dt$ ( x ≠ 0 ) 。

因此，我们已经证明，存在(6.4)的一个解，它在每一个x ≠ 0 的点都存在导数，则这个解必定由(6.5)的积分公式给出。假如f ’(1) = 0，则(6.5)意味着对于所有x ≠ 0,有f(x)= 0，这个解与等于0的解一致。因此，假如f不等于0，我们一定有f ’(1) ≠ 0 ，这种情况，我们可以在(6.5)的两边分别除以f ’(1),从而得到

(6.6) $g(x) = \int_{1}^{|x|}\frac{1}{t}dt$ ( x ≠ 0 ) 。

其中， $g(x)=\frac{f(x)}{f'(1)}$ 。函数g(x)也是(6.4)的一个解，因为无论f是什么函数，cf都是(6.4)的一个解。这就证明了(6.4)有一个不等于0的解，并且，假如这个解在除了原点之外的任意点都可导，则由(6.6)给出的函数g(x)也是(6.4)的一个解，并且，通过乘以一个合适的常量，可以从这一个解获得(6.4)的所有解。

应强调一点，这个论证并不能证明(6.6)给出的函数g实际是上一个解，因为我们基于至少有一个解不为零的这个假设去推导(6.6)。公式 (6.6) 提出了一种构建此类解的方法。我们只是反向操作。即我们用(6.6)式中的积分定义一个函数g，然后我们直接验证这个函数实际上满足(6.4)式。这表明我们应该将对数定义为(6.6)给出的函数 g。如果我们这样做，这个函数将具有 g(-x) = g(x)的性质，或者换句话说，不同的数将具有相同的对数。 对于我们稍后要做的一些事情，最好以这样一种方式定义对数——没有两个不同的数具有相同的对数。后一个性质可以通过仅对正数定义对数来实现。因此我们使用以下定义。(译注：结合微积分的思想，根据对数的性质，推导出用微积分定义对数的必须公式，从而使得对数的定义和证明得到极大简化，这就是采用微积分定义对数的直接动机。)