什么是回溯算法？

回溯算法也可以叫回溯搜索算法，回溯是递归的"副产品",回溯的本质是穷举，然后选出我们需要的数据，回溯本身不是特别高效的算法，但我们可以通过"剪枝"来优化它。

理解回溯算法

回溯算法的解决可以模拟成树的结构，因为回溯法解决的是在集合中递归搜索子集的过程，集合的大小构成树的宽度，递归的深度构成树的深度。

回溯算法模板

确定回溯算法的返回值与参数(一般先写逻辑，然后需要什么参数，就增加什么参数)
确定回溯函数的终止条件
确定回溯搜查的遍历过程

void BackTracking(参数)
{
	if (终止条件)
	{
		处理结果
		return;
	}
	for (选择：本层集合中的元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）)
	{
		处理节点
		BackTracking(路径，选择列表);//递归
		回溯，撤销处理结果
	}
}

组合

问题：
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按任何顺序返回答案。
来源：力扣（LeetCode）组合

在这里插入图片描述
思路一：这种题目我们一眼就能想到使用for循环套循环比如 k==2时

	int n = 4;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
		{
			//处理结果
		}
	}

但是如果k越来越大，我们套用的循环也会越来越多，这种暴力解法无疑是不现实的。

思路二：我们在前面说过，可以使用树的结构来模拟回溯递归的过程：
比如n=4 k=2
在这里插入图片描述
树的初始集合是[1,2,3,4],从左向右取，取过的数不再取，每次从集合中选取元素，可选择的范围逐渐缩小。有图可以发现，n相当于树的宽度，而k相当于树的深度。我们再由模板来写出最终代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> arr;//存放符合条件的集合
    vector<int> _arr;//用来存放符合条件的单一数据
    void BackTracking(int n, int k, int begin)
    {
        if (_arr.size() == k)//递归终止条件
        {
            arr.push_back(_arr);//单一数据存放至总集合里
            return;
        }
        for (int i = begin; i <= n; i++)//控制树的横向遍历
        {
            _arr.push_back(i);//处理节点
            BackTracking(n, k, i + 1);//递归，控制树的纵向遍历，即深度
            _arr.pop_back();//回溯，撤销处理的节点
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        BackTracking(n, k, 1);
        return arr;
    }
};

剪枝优化

如果出现下面情况：
n=4 k=4
那么在第一层for循环中，从元素2开始的遍历都没有意义，因为满足k的数量不够了，所以有图可知，打叉的地方都可以优化掉
在这里插入图片描述
优化过程：

已经选择的元素个数：_arr.size()
还需要的元素个数：k - _arr.size()

优化后的代码：

class Solution {
public:
    vector<int> _arr;
    vector<vector<int>> arr;
    void BackTracking(int n, int k, int begin)
    {
        if (_arr.size() == k)
        {
            arr.push_back(_arr);
            return;
        }
        for (int i = begin; i <= n-(k-_arr.size())+1; i++)//剪枝优化
        {
            _arr.push_back(i);
            BackTracking(n, k, i + 1);
            _arr.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        BackTracking(n, k, 1);
        return arr;
    }
};

组合总和 III

问题：
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：

只使用数字1到9
每个数字最多使用一次

返回所有可能的有效组合的列表。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。
来源：力扣（LeetCode）组合总和 III

在这里插入图片描述

思路：这个题相对于上一个题来说，就是k为树的深度，而集合固定为1到9，也就是树的宽度为9
比如：k=2 只取两个数
在这里插入图片描述
代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> arr;
    vector<int> _arr;
    void BackTracking(int k,int n,int begin,int sum)
    {
        if(_arr.size()==k)//终止条件
        {
            if(sum==n)//满足题意
            {
                arr.push_back(_arr);
            }
            return;
        }
        for(int i=begin;i<=9;i++)//横向遍历
        {
            sum+=i;//收集元素总和
            _arr.push_back(i);//收集元素
            BackTracking(k,n,i+1,sum);//递归，纵向遍历
            sum-=i;//回溯
            _arr.pop_back();//回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        BackTracking(k,n,1,0);
        return arr;
    }
};

剪枝优化

如果我们选择的元素总和已经大于n，那么我们再往后遍历的总和肯定也大于n，就没有继续遍历下去的意义了。元素个数方面，同样与上一题一样能继续优化。
在这里插入图片描述
优化后：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> arr;
    vector<int> _arr;
    void BackTracking(int k,int n,int begin,int sum)
    {
        if(sum>n)//剪枝条件
        {
            return;
        }
        if(_arr.size()==k)
        {
            if(sum==n)
            {
                arr.push_back(_arr);
            }
            return;
        }
        for(int i=begin;i<=9-(k-_arr.size())+1;i++)//元素个数的优化
        {
            sum+=i;
            _arr.push_back(i);
            BackTracking(k,n,i+1,sum);
            sum-=i;
            _arr.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        BackTracking(k,n,1,0);
        return arr;
    }
};