数据结构 | 树和二叉树的基本概念和性质【考点精析】

news2025/1/31 8:00:42

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🌳树

🍃树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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注：打√的重点记忆

📚性质1：树中的结点数等于所有结点的度数之和 + 1【例：n = (2n₁+n₂+2n₃) + 1】

📚性质2：每个度为i的结点在所有结点度数之和中贡献i个度【例：n₁+2n₂+3n₃】
📚性质3：对于m次树的总结点个数为从n₀开始加到n_m【例：n = n₀+n₁+n₂…+n_m】

📚公式1：所有结点度数之和 = n - 1【性质1…】
📚公式2：所有结点度数之和 = N₁ + 2N₂ + … + mN_m【性质2…】
📚公式3：N = N₀ + N₁ + N₂ +… + N_m【性质3…】

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

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注：

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
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接下去讲两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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非空满二叉树特点如下：

非空完全二叉树特点如下：

首先是满二叉树

接下去是完全二叉树

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n₀, 度为2的分支结点个数为 n₂,则有 n₀＝ n₂＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为h = log₂(n + 1) . (ps： log₂(n + 1) 是log以2
为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
①若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
②若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
③若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子